陈类

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数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类(Chern class,或称陈示性类)是一类特殊的和复向量从相关的示性类。

陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

[编辑] 陈类的性质

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛V,V的陈类是一系列X的上同调的元素。V的第n个陈类通常记为c_n(V),是整数系数的X的上同调

H²ⁿ(X;Z)

中的一个元素。类c₀(V)总是等于1. 当V是复d维的丛，则类c_n 在n > d时为0.

例如，若V是一个线丛，则只有在X的第二上同调群中有一个(第一)陈类。第一陈类实际上是可以从拓扑上为复线丛分类的一个完全不变量。也就是说，存在一个X上的线丛的同构等价类到H²(X;Z)的元素的双射,它把一个线丛映射到它的第一陈类。二维上同调群上的加法和复线丛上的张量积等同。

对于1维以上的复向量丛，陈类不是一个完全不变量。

[编辑] 几乎复流形的陈类和配边(cobordism)

陈类的理论导致了几乎复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的陈数。

若M′ 是另一个同维度的几乎复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

[编辑] 陈类的定义

有很多处理这个定义的办法:陈最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把V和一个分类空间(在这个情况下是Grassmannian(格拉斯曼)空间)联系起来的映射;还有Alexander Grothendieck的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面'所需要的0'的个数相关。

更多的讨论见Chern-Simons(陈-西蒙斯理论)。

[编辑] 推广

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个泛上同调群理论(generalized cohomology theory)所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同:计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的(普通)加法而是一个形式化群定律(formal group law)。

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