A无穷代数

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A无穷代数(A-infinity algebra， $\;A_{\infty}\;$ -algebra)是J. Stasheff在1960年代研究 $\;H\;$ 空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构，又称为强同伦结合代数(strong homotopy associative algebra)。1970年代陈国才(K.-T. Chen)和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代K. Fukaya在研究辛流形(symplectic maniofld)的拉格朗日Floer同调(Lagrangian Floer Homology)时推广了Stasheff的概念，称为A无穷范畴(A-infinity category， $\;A_{\infty}\;$ -category)。一般数学家把Fukaya的发现称为Fukaya范畴(Fukaya category)。

[编辑] 定义

设 $\;V\;$ 是数域 $\;k\;$ 上的一个分次线性空间。 $\;V\;$ 上的一个A无穷代数结构是一组映射

$\;m_n:V^{\otimes n}\to V,\quad m_n\;$ 的度数为 $\; n-2,\;$

满足以下4组关系：

$\;m_1=d\;$ 是一个微分，即 $\;d^2=0;\;$
$\;m=m_2:V\otimes V\to V\;$ 是一个链映射，换言之 $\;d\circ m=m\circ d;\;$ 可以把 $\;m_2\;$ 看成一个乘法，并且这个乘法能够降到同调上去；
$\;m_3:V^{\otimes 3}\to V\;$ 是乘法 $\;m\;$ 关于结合律的同伦，即 $\;a\cdot(b\cdot c)\ne (a\cdot b)\cdot c,\;$ 而是在同伦的意义下是结合的： $\;m_3d+dm_3=m(m\otimes Id)-m(Id\otimes m);\;$
$\;m_4,\cdots\;$ 是高阶同伦，即 $\;m_4\;$ 是 $\;m_3\;$ 的同伦， $\;m_5\;$ 是 $\;m_4\;$ 的同伦等等，换言之 $m_nd-(-1)^{n}dm_n=\sum_{i+j=n+1,i,j\ge 2}(-1)^j m_i\circ m_j.\;$

从上面的定义可以看出，对于一个A无穷代数，它的同调实际上形成一个结合代数。这也就是一个A无穷代数称为强同伦结合代数的原因。

[编辑] 等价定义

如果读者熟悉上代数(coalgebra)的概念，那么考虑 $\;V\;$ 的元素度数降低1然后生成的张量代数(tensor algebra)，记为 $\;TV[1]\;$ 。 $\;TV[1]\;$ 上有一个自然的上积(coproduct)，为

$\;\Delta(a_1\otimes a_2\otimes\cdots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^na_1\otimes\cdots\otimes a_i\bigotimes a_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_n.\;$

从而使 $\;TV[1]\;$ 成为一个上代数。 $\;V\;$ 上的一个A无穷代数结构就是 $\;TV[1]\;$ 上的一个上导子(coderivation) $\;\delta\;$ 并且满足 $\;\delta^2=0\;$ 。关于这两个定义的等价性证明可以参考下面Markl-Shnider-Stasheff的书。

[编辑] 详解

Stasheff是怎样得到A无穷代数的结构的呢？我们下面以一个具体的例子，同时也是Stasheff所考虑的原型来说明。设 $\;M\;$ 是一个拓扑空间， $\;x\;$ 为其上一点。记

$\Omega M:=\{f:[0,1]\to M|f(0)=f(1)=x\},\;$

称为 $\;M\;$ 的环路空间(based loop space)。在 $\;\Omega M\;$ 上我们可以定义一种乘法，如下：任给 $\;\gamma_1,\gamma_2\in\Omega M\;$ ，

$\;\gamma_1\circ\gamma_2:=\begin{cases}\gamma_1(2x),&\mbox{ if } 0\le x<\frac{1}{2}\\ \gamma_2(2x-1),& \mbox{ if } \frac{1}{2}\le x\le 1.\end{cases}$

回忆学习基本群的时候，我们都验证过这样的乘法并不是结合的，但在同伦意义下是结合的：不难构造这样的同伦，记为 $\tilde m_3$ ，

$\tilde m_3:[0,1]\times[0,1]\to M,$

使得 $\tilde m_3(0,\cdot)=(\gamma_1\circ\gamma_2)\circ\gamma_3(\cdot),\tilde m_3(1,\cdot)=\gamma_1\circ(\gamma_2\circ\gamma_3)(\cdot)\;$ 。对于 $\;\Omega M\;$ 里面的4个元素，我们有下面五种乘法，他们是相互同伦的，如下图所示：

图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周 $\;S^1\;$ 为参数的一串从 $\;[0,1]\;$ 到 $\;M\;$ 的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的，因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以 $\;S^1\;$ 为边的圆盘 $\;D^2\;$ 上，即为同伦之间的同伦，记为 $\;\tilde m_4\;$ 。如此一直进行下去，我们就得到 $\;\tilde m_5,\tilde m_6,\cdots\;$ ，等等。在链水平上，我们把 $\;\tilde m_n\;$ 对应的映射记为 $\;m_n\;$ ，则不难看出 $\;m_n\;$ 就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

[编辑] 例子

一个平凡的例子是，任何一个(微分分次)结合代数都是一个A无穷代数。这里只要令 $\;m_3,m_4,\cdots\;$ 都等于0就行了。
除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外，陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子，其中陈国才的构造更为深刻，成为有理同伦论(rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形，考虑它上面的微分形式，这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA)，同时我们还可以考虑它的上同调，赋以一个平凡的微分，则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的！比如说，根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表，这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解，我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去，但是这样定义出来的乘法却不再是结合的，但是在同伦的意义下结合。以此，我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路，但是陈国才走的更远，他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系，以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系，跟Sullivan后来研究流形的形式化(formality)有相似之处。

[编辑] Koszul对偶和有理同伦论

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构，我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形，这样分解就是Postnikov塔)。这其中，所谓的Koszul分解是一种非常有效的分解方式，而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中：对于一个结合代数，它的Koszul分解有一个A无穷代数结构，而这个A无穷代数的Koszul分解又是一个A无穷代数，如此不已。但是，原来的结合代数和两次Koszul分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的，第二个分解和第四个分解也是如此，如此循环。这就是所谓的Koszul对偶(Koszul duality)的概念。

对于李代数和交换代数，我们同样可以进行Koszul分解。一个李代数的Koszul分解有一个C无穷代数(C是交换commutativity的英文缩写)结构，而一个交换代数的Koszul分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数，正如A无穷代数一样，他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过Koszul分解后到C无穷代数然后再经Koszul分解到李无穷代数，所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互Koszul对偶的。这个结论实际上是Quillen在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型(rational homotopy type)组成的范畴是等价的(有一些单连通性条件)。后来Sullivan通过考察流形的微分形式，得到了类似的结果，但是更几何，更直观。

[编辑] A无穷范畴

考虑一个范畴 $\;\mathfrak C\;$ 。对于其中的四个对象及其之间态射

$\;A\stackrel{f}{\longrightarrow}B\stackrel{g}{\longrightarrow}C\stackrel{h}{\longrightarrow}D,\;$

我们有

$\;(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h),\;$

这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。

Fukaya在研究辛拓朴的时候发现了这个A无穷范畴的结构。给定一个辛流形，考虑其中的拉格朗日子流形(Lagrangian submanifold)。对其中任意两个拉格朗日子流形，考虑所谓的拉格朗日Floer链复形，形成所谓的态射。Fukaya发现这些态射之间可以定义乘法，但是这个乘法本身不结合但在同伦意义下结合，他并构造了高阶同伦算子，使之成为一个A无穷范畴，现在称为Fukaya范畴。

[编辑] 相关概念

B无穷代数( $\;B_{\infty}\;$ -algebra)
C无穷代数( $\;C_{\infty}\;$ -algebra)
E无穷代数( $\;E_{\infty}\;$ -algebra)
G无穷代数( $\;G_{\infty}\;$ -algebra)
李无穷代数( $\;L_{\infty}\;$ -algebra)

[编辑] 参考文献

Stasheff关于A无穷代数的构造见：

Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陈国才的 $\;A_{\infty}\;$ -代数的构造，并不是在文章中明显给出的，但不难推导，见：

Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章发表于1980年，作者后来重新整理，题为On the homology theory of fiber spaces. 原文见：

Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

关于Koszul对偶，最经典的文章见：

Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同伦论，见：

Quillen, Daniel, Rational homotopy theory. Ann. of Math. (2) 90 1969 205-295.

Sullivan的有理同伦论，见：

Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269-331 (1978).

关于Fukaya范畴，见他的主页上的文章，以及

Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.

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