دالة رياضية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق $X \!$ عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر $Y \!$ . أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow f(x) \!$

ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :

لكل تابع مجموعة منطلق (او نطاق Domain )غالباً ما تدعى $X \!$ .
لكل تابع مجموعة مستقر (او نطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى $Y\!$ .
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق $X \!$ ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر $Y \!$ .
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر $Y \!$ أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق $X \!$ .

فاذا كان المنطلق هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير المستقل x ، المستقر أو النطاق المرافق هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة $f(x)\!$ .

المجال ( أو المدى ) Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f .

و يجب عدم الخلط بين المجال و المستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .

[تحرير] أمثلة

لنأخذ الدالة : $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow x^2 \!$

أي أن $f(x)=x^2 \!$

بأخد $x = 2$ نكتب $f (2) = 4$ ، هنا بالتعرف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف $f \!$ . عندئذ نجد أن العنصر $x = 2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر $y = 4$ من المستقر فقط. العنصر $x = - 2$ من المنطلق (او المجال) $X \!$ يرتبط بالعنصر $y = 4$ فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر $y = 4$ من المستقر أن يرتبط بعنصرين $x = 2$ و $x = - 2$ من المستقر في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .

بالمقابل

$\mathrm{Root}(x) = \pm\sqrt{x}$

ليست دالة، لأنها تربط اي مدخل $x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد 9 قد يحتمل قيمتين هما 3 و -3. لهذا، اذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب ان نحدد اي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

$\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt{x}, \quad \forall x\ge 0$ ،