قيمة متوقعة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

القيمةالمتوقعة هي قيمة عددية تساوي درجة المساواة في لعبة حظ. هي تساوي مجموع المرابيح (أو الخسائر) موزونة باحتمال الربح (أو الخسارة).

مثال لعبة العجلة : يختار اللاعب عددا من 0 إلى 36 (37 عدد) على العجلة (متكونة من 37 خانة كل خانة تمثل عددا). ثم يراهن على هذه العدد. توضع كرة صغيرة في العجلة ويقع إدارة العجلة بسرعة ثم تقف الكرة في خانة عدد ما . إذا كان عدد الخانة لعدد الذي اختاره في البداية يضاعف رهانه 36 مرّة في الحالة الثانية يخسر رهانه.

لنفترض أنه يراهن على هذه الخانة 10 دولاات .

القيمة المتوقعة للربح هي إذا:

$-10 + \frac{10 \times 36}{37} = -0,27$ (حذفنا 10 لأنّ العشرة دولارات وقع صرفها باحتمال يساوي 1)

هذا العدد يمثل، معدلاّ، أن اللاعب يخسر 0.27 دولارا بعد كل لعبة (لحساب صاحب العجلة).

عندما تكون القيمة المتوقعة تساوي 0، نعتبر اللعبة عادلة.

[تحرير] القيمة المتوقعة والإختيار المعقول

في بعض الحالات، إشارات القيمة المتوقعة لا تتطابق مع إختيار معقول.

لنتخيل مثلا أن نفوم بالاقتراح التالي : لو رميتا زهري نرد، وظهر العدد 6 على كلاهما، يربح اللاعب مليون دولار وإذا لم يقع ذلك يخسر اللاعب 10000 دولار. من المحتمل، أن يرفض اللاعب اللعب (قد يبين لنا أنّه سيخسر الكثير).

ولكن القيمة المتوقعة لهذه اللعبة ملائمة للربح : احتمال الحصول على 6 على كلا الزهرين هو 1/36، فلنا إذا:

$\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055$

بعد كلّ شوط، يربح الاعب 18055 دولار معادلا.

تقوم المشكلة في الحقيقة على لفظة "معدلا" : إذا المرابيح قد تكون علية، فإن وقوعها نادر نسبيا، ولبضمن اللاعب أن يكون رابحا يجب أن يكون له كمية كافية من المال ليلعب عددا كبيرا من المرّات. إذا كانت الرهانات كبيرة بالافراط ليستطيع اللاعب اللعب عددا كبيرا من المرّات فانّ حجة القيمة المتوسطة لم تعد كافية.

[تحرير] أهمية العلاوة على المجازفة

إنّ اعتبارات المجازفة بالخسارة هذه هي التي جعلت الرياضي دانيال برنولي يجد فكرة "النفور من المجازفة" في كتابه "تناقض متسرل سانت بتارسبورغ". هذ الفكرة أدّت إلى مصاحبة القيمة المتوقعة بعلاوة على المجازفة (ميدان اقتصادي) عنط تطبيقها في مسائل الاختيار.

تطبيقات خاصّة (اقتصاد، تأمينات و أموال)

[تحرير] في الرياضيات

القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي تعادل احتمال معدل متسلسلة إحصائية في الإحصاء. يرمز إليها ب ( E( X وتقرأ القيمة المتوقعة لX.

تحسب القيمة المتوقعة كالتباين أي باستعمال قوى المتغير العشوائي.

[تحرير] معادلات

تحسب القيمة المتوقعة لمتغيرات عشوائية (حقيقية أو مركبة) بالشكل التالي:

إذا كان المتغير العشوائي X متغير منفصل:

- إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة منتهية { x₁, x₂, ..., x_n } وكل عنصر x_i احتماله p_i إذن : $E(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i\, x_i$
- إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة عدودة { ...,x₁, x₂, ..., x_i } فإنّ $E(X) = \sum_{i \in \mathbb{N}}p_i\, x_i$ (إذا كانت المتسلسلة تنتهي مطلقا : النهاية المطلقة للمتسلسلة تضمن استقلال مجوعها عن طريقة ترقيم أطرافها)

إذا كان المتغير العشوائي X متغير متصل:

- إذا كانت لX الدالة الكثافة الاحتمالية f إذن $E(X) = \int_{\mathbb{R}} x\, f(x)\, dx$ بشرط أن تكون الدالة قابلة للتكامل.

- إذا كانت X دالة قابلة للقياس في (Ω, B, p) في مجموعة الأعداد الحقيقية، موجبة و P-قابلة للقياس : $E(X) = \int_{\Omega}X\, dP = \int_{\mathbb{R}}x\, dP_X$ (حيث $\ P_X$ الاحتمال الصورة)

[تحرير] التقييم

يقول قانون الأعداد الكبيرة أن المعدل التجريبي لـN ملاحظة (N كبير) للمتغير العشوائي X تقدير جيّد للقيمة المتوقعة لـX.

[تحرير] طابع التوسط

غالبا، نعتبر القيمة المتوقعة أن تكون مثل "وسط المتغير العشوائي"، أي القيمة الذي تتوزع حوله القيمات الأخرى. مثلا إذا كان لـX و 2a - X نفس التوزيع الإحتمالي أي أنّ التوزيع هذا متناظر بالنسبة إلى a، إذن E ( X ).

ولكن هذه الفكرة تفقد صحتها إذا لم يكن التوزيع متناظرا. لندرس كمثال التوزيع الهندسي، وهو توزيع غير متناظر. إذا X يمثل عدد رميات زهر نرد، يمكن أن نبرهن أنّ 6 =( E( X يعني أن لنحصل على "1" يكفي، معدلا، أن نرمي الزهر 6 مرّات. و لكن احتمال أنّ 5 رميات أو أقل تكفي للحصول على "1" تساوي 0.6 و الاحتمال أن 7 رميات أو أكثر تساوي 0.33. قيمات X تتوزع بطريقة غير متساوية حول القيمة المتوقعة.

تمّ الاسترجاع من "http://ar.wikipedia.org../../../%D9%82/%D9%8A/%D9%85/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A9.html"

تصنيفات الصفحة: رياضيات | احتمالات | إحتمالات و إحصاء

قيمة متوقعة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

فهرست

[تحرير] القيمة المتوقعة والإختيار المعقول

[تحرير] أهمية العلاوة على المجازفة

[تحرير] في الرياضيات

[تحرير] معادلات

[تحرير] التقييم

[تحرير] طابع التوسط

Views

الموسوعة

تصفح

المشاركة و المساعدة

بحث

لغات أخرى