Várható érték
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az valószÃnűségi mezÅ‘n értelmezett X valószÃnűségi változó várható értéke
amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor X-nek nincs várható értéke. Az X valószÃnűségi változó F(x) eloszlásfüggvényének ismeretében egy másik - a fentivel ekvivalens - módon is felÃrhatjuk a várható értéket:
Az X valószÃnűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:
Tartalomjegyzék[elrejt] |
[szerkesztés] Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószÃnűségi változókra
Abszolút folytonos és diszkrét valószÃnűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számÃtható formát ölt.
- Ha X abszolút folytonos valószÃnűségi változó (azaz ha van sűrűségfüggvénye, amit most f(x)-szel jelölünk), akkor az X várható értékét az
- egyenlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ez az integrál létezik és véges.
- Ha X diszkrét valószÃnűségi változó, akkor a pozitÃv valószÃnűséggel felvett értékek megszámlálható halmazt képeznek. Jelölje ezeket az értékeket most x1, x2, ... , xi, ..., a hozzájuk tartozó valószÃnűségeket pedig rendre p1, p2, ... , pi, ... . Az X várható értékét az
- egyenlet adja meg. Az diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ez a sor abszolút konvergens.
[szerkesztés] A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága
- NemnegatÃv valószÃnűségi változó várható értéke - amennyiben létezik - szintén nemnegatÃv.
- A várható érték lineáris leképezés az azonos valószÃnűségi mezÅ‘n értlemezett valószÃnűségi változók terén, azaz ha X és Y azonos valószÃnűségi mezÅ‘n értlemezett valószÃnűségi változók, akkor bármely a, b ∈ R esetén
- (Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál lineáris leképezés a mértéktéren értelmezett mérhető függvények terén.)
- Független valószÃnűségi változók esetében a várható érték multiplikatÃv, azaz ha X és Y független valószÃnűségi változók, akkor
[szerkesztés] Megjegyzések
- Az X valószÃnűségi változó várható értéke megegyezik az elsÅ‘ momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthetÅ‘ a várható érték általánosÃtásának.
- A matematikai statisztika megkülönböztet elméleti és tapasztalati várható értéket. Az elÅ‘bbi egybesik az ebben a szócikkben bemutatott várható értékkel, mÃg az utóbbi lényegében a statisztikai mintából számÃtott átlag.
[szerkesztés] Források
- Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): ValószÃnűségszámÃtási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
- Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
- Medgyessy P. - Takács L. (1973): ValószÃnűségszámÃtás. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Michelberger P. - Szeidl L. - Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idÅ‘sor-analÃzis. Typotex Kiadó, Budapest.