Теорема на Талес
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Теоремата на Талес гласи, че ако точки A, B и C лежат на една окръжност и отсечката АC е диаметър на тази окръжност, то ъгълът ABC е прав.
[редактиране] Доказателство
Двата основни факта, които ще използваме в доказателството са: първо, че сборът на ъглите в един триъгълник е 180° и второ - ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.
Нека т.O е центъра на окръжността. Отсечките OA, OB и OC се явяват радиуси в тази окръжност и съответно са равни помежду си. Следователно триъгълниците OAB и OBC са равнобедрени и тъй като ъгълите при основата им са равни, то OBC = OCB и BAO = ABO.
Ако означим ъгъл BAO с γ; а ъгъл OBC с δ, то
- 2γ + γ ′ = 180°
и
- 2δ + δ ′ = 180°
Освен това знаем, че
- γ ′ + δ ′ = 180°
Ако съберем първите две уравнения и от тях извадим третото, ще получим
- 2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°
където, след съкращаването на γ ′ и δ ′, получаваме
- γ + δ = 90° следователно ъгълът АВС е прав
което и трябваше да се докаже.
Обратното на теоремата на Талес също е вярно, тоест хипотенузата в правоъгълен триъгълник е диаметър на описаната около триъгълника окръжност.
Двете твърдения могат да бъдат обобщени така: Центърът на описаната около един триъгълник окръжност лежи на някоя от неговите страни, тогава и само тогава, когато триъгълникът е правоъгълен.
