Teorema lui Thales

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Thales din Milet este cel care a demonstrat două teoreme din geometria plană, teoreme care-i poartă numele.

Cuprins

1 Prima teoremă a lui Thales
- 1.1 Variantă
2 A doua teoremă a lui Thales
- 2.1 Demonstraţie
3 Teorema reciprocă
4 Legături externe
5 Consultaţi şi:

[modifică] Prima teoremă a lui Thales

Fie două drepte (d) şi (d'), neparalele, care se intersectează în punctul O. Fie A şi A' două puncte ale dreptei (d), şi B y B' două puncte ale dreptei (d'). Dacă,

$\frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}$

atunci,

$(AB)\ /\!/ \ (A'B')$

[modifică] Variantă

Într-un triunghi, o paralelă dusă la una dintre laturi determină segmente proporţionale pe celelalte două.

O aplicaţie interesantă a acestei teoreme este calcularea înălţimii unui obstacol, când se cunoaşte înălţimea unui etalon şi se măsoară lungimea umbrei sale.

Aplicaţia teoremei lui Thales

A = Lungimea etalonului;
C = Lungimea umbrei obstacolului la o anumită oră;
B = Lungimea umbrei etalonului la aceiaşi oră, la aceiaşi latitudine;
D = Înălţimea obstacolului.

$D = C \left(\frac{A}{B}\right)$

Thales a folosit această aplicaţie pentru a calcula înălţimea piramidei lui Keops. Baza piramidei măsura 232 m. De la marginea bazei piramidei, umbra mai măsura încă 40 m. Lungimea totală a umbrei este astfel:

$C = \frac{232} {2} + 40 = 156$ metri

Atunci,

$\frac{D}{156} = \frac{2}{2,13}$

Adică,

$D = \frac{2\cdot 156}{2,13} \approx 146$ metri

[modifică] A doua teoremă a lui Thales

Teorema lui Thales: dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept.

Dacă A, B şi C sunt puncte situate pe un cerc, iar linia AC este diametrul cercului, atunci unghiul ABC este un unghi drept.

Generalizare: Această teoremă este un caz particular al următoarei afirmaţii:

Dacă A, B şi C sunt puncte situate pe un cerc cu centrul în O, atunci măsura unghiului AOC este de două ori mai mare decât a unghiului ABC.

[modifică] Demonstraţie

Demonstraţia teoremei lui Thales

Se ştie că:

Suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu 180°,
Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale.

Fie O centrul cercului. Întrucât OA=OB=OC, atunci ΔOBC şi ΔOAB sunt triunghiuri isoscele, iar unghiurile acestora vor satisface relaţiile $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ şi $\widehat{BAO} =\widehat{ABO}$ .