Twierdzenie Talesa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń całej geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu.

Spis treści

1 Teza
2 Dowód
3 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
4 Zastosowania
- 4.1 Podział odcinka w danym stosunku
5 Zobacz też
6 Przypisy

[edytuj] Teza

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.^[1]

Dla powyższych rysunków zachodzi: $\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

lub po przekształceniu: $\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}$ oraz $\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}$ a także $\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}$ .

Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: $\frac{|AD|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|BC|}$ , ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

[edytuj] Dowód

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

Lemat I. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
Lemat II. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.

1. Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu I.:

$\frac{|CE|}{|EA|}=\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}$ .

2. Trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, więc na mocy lematu II.:

S C E D = S B D E

, stąd $\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}=\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}$ .

3. Trójkąty BDE i EAD ma wspólną wysokość, więc na mocy lematu I.:

$\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}=\frac{|BD|}{|DA|}$ .

Łącząc w jeden zapis otrzymujemy:

$\frac{|CE|}{|EA|}=\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}=\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}=\frac{|BD|}{|DA|}$ , czego należało dowieść.

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: Sformułowanie nie jest precyzyjne i można je zrozumieć w taki sposób, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe..
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

[edytuj] Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi i odcinki powstałe na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to dane proste są równoległe.

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Podział odcinka w danym stosunku

Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b.

Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.