Espai euclidià

De Viquipèdia

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma es heretada d'un producte escalar.

Taula de continguts

1 Primera aproximació
2 Definicions matemàtiques
3 Propietats dels espais euclidians

[edita] Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.

Històricament, l'espai euclidià és només l'espai físic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el que estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

[edita] Definicions matemàtiques

[edita] Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre $\mathbb R$ , de dimensió finita $n$ i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

$<\mathbf u,\mathbf v>=<(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)>= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n$ .

Quan es té definit un producte escalar, es possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

$||u||=\sqrt {<u,u>}$

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric de de dos vectors $(u, v)$ no nuls, és un valor real $θ$ comprès entre 0 i $π$ tal que:

$cos\theta=\frac {<u,v>}{||u||\cdot ||v||}$

[edita] Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

[edita] Exemples d'espai vectorial euclidià

L'espai $\mathbb {R}^n$ , amb el producte escalar euclidià:

$<(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\,$

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n
- amb el producte escalar euclidià

$<\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i>=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i$

és un espai euclidià de dimensió $n + 1$ .

- amb el producte escalar

$<P,Q>=\int _0^1P(t)Q(t)dt$

és també un espai euclidià amb una norma diferent .

[edita] Propietats dels espais euclidians

En tot espai euclidià es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si $(u_1,u_2,...,u_n)\,$ és una base de $\mathbf E$ , existeix una base $(v_1,v_2,...,v_n)\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que

$\{u_1,u_2,...,u_k\}=\{v_1,v_2,...,v_k\}\,$ .

on s'entén per $\{u_1,u_2,...,u_k\}\,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.

Tot espai vectorial euclidià de dimensio $n$ és isomorfe a $\mathbb R^n$

Tot espai vectorial euclidià és complet. És per tant un cas particular d'espai de Banach.

Dos vectors amb producte escalar nul, es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf F$ d'un espai euclidià $\mathbf E$ es pot associar un únic subespai $\mathbf {F}^{\bot}$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vector de $\mathbf F$ , és el seu ortogonal.

Si $x\,$ és un vector de $\mathbf E$ , l'aplicació producte escalar per $x\,$ , $s_x :y\rightarrow <x,y>$ és una forma lineal. L'aplicació que associa $x\,$ a $s_x\,$ és un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf E$ en el seu dual $\mathbf E^*$ .