Bernoulliho rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o mechanice tekutin. O diferenciální rovnici pojednává článek Bernoulliova rovnice.

Bernoulliho rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici. (Energie je v rovnici přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.)

$\frac{1}{2} \rho v^2 + p = konst$

kde $ρ$ je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině První člen ( $\frac{1}{2}\rho v^2$ ) v Bernoulliho rovnici představuje kinetickou energii, druhý člen (p) představuje tlakovou potenciální energii objemové jednotky kapaliny. Součet kinetické energie a potenciální energie je ve všech místech trubice stejný.

Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. Základní slovní definice Bernoulliho jevu zní: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším obsahem průřezu má menší tlak, ale větší rychlost.

[editovat] Odvození

Diagram k odvození Bernoulliho rovnice

Pokud kapalina o jednotkové hmotnosti m proudí ve vodorovné trubici rychlostí v, má kinetickou energii rovnou:

$E_{K} = \frac{1}{2} mv^2$

Označíme-li V objem tohoto jednotkového množství kapaliny, pak kinetická energie kapaliny o jednotkovém objemu je:

$\frac{E_{K}}{V} = \frac{1}{2} \frac{m}{V}v^2 = \frac{1}{2} \rho v^2$

Kde $ρ$ je hustota kapaliny. Kinetická energie kapaliny o jednotkovém objemu je tedy větší v místě s menším průřezem. Přírůstek kinetické energie kapaliny v menším průřezu musí být podle zákona zachování energie vyrovnán úbytkem jiné energie - tlakové potenciální energie:

$E_{P} = mgh\,\!$

Kde h je výša sloupce kapaliny. Pokud přepočítáme potenciální energii na jednotkový objem získáme:

$\frac{E_{P}}{V} = \frac{m}{V}gh = p$

Neboli, tlaková potenciální energie kapaliny v jednotkovém objemu je stejná jako hydrostatický tlak pod sloupcem kapaliny o výšce h. Jelikož se energie kapaliny neskládá z jiných složek, musí platit (pokud je kapalina izolovaná od okolí), že součet kinetické energie kapaliny a potenciální energie kapaliny je konstatní, neboli:

$\frac{1}{2} \rho v^2 + p = konst.$

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. E_k + E_p=konst.

U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou.

Za předpokladu, že E_k + E_p =konst., potom platí

1/2 m v² + p V = konst.
po úpravě dostaneme

$\frac12 \rho V v^2 + pV = konst$

dále

$\frac12 \rho v^2 + p = konst$

[editovat] Důsledky

Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských pistolí nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost

Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokou rychlost kapaliny při vytékání z nádoby s hladinou ve výšce h. Neboť lze říci, že výtoková rychlost kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

$v = \sqrt{2gh}$