Equazione di Bernoulli

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Nota disambigua - Se stai cercando l'equazione differenziale, vedi Equazione differenziale di Bernoulli.

In fluidodinamica, l'equazione di Bernoulli rappresenta una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenuta in caso di flusso inviscido, dall'integrazione lungo una linea di flusso, e descrive il moto di un fluido lungo tale linea.

Nel dettaglio, le ipotesi che devono essere rispettate perché possa essere applicata l'equazione è che il fluido sia un fluido ideale e cioè con le seguenti caratteristiche:

flusso inviscido (viscosità pari a zero)
flusso stazionario (flusso non dipendente dal tempo)
flusso irrotazionale (linee di flusso equivalenti)
flusso incomprimibile ( $ρ$ costante)

In queste ipotesi, le equazioni di Navier-Stokes possono essere ridotte ad una forma semplificata (equazioni di Eulero), che integrate lungo una linea di flusso, conducono all'equazione di Bernoulli, che può essere espressa nella forma:

$P+\rho{v^2 \over 2}+ \rho gh=costante$

in cui:

v rappresenta la velocità del fluido lungo la linea di flusso,

g è l'accelerazione di gravità,

h è la quota altimetrica,

P rappresenta la pressione lungo la linea di flusso,

$ρ$ è la densità del fluido.

Tale equazione permette di evidenziare in maniera estremamente semplice il principio di Bernoulli, secondo il quale in un fluido, date le ipotesi, ad un decremento di pressione corrisponde un incremento di velocità.

L'equazione deve il suo nome al fisico e matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700 - 1782).

[modifica] Il Teorema di Bernoulli senza calcolo integrale

Il teorema di Bernoulli può essere dimostrato anche senza ricorrere al calcolo integrale.

Il lavoro compiuto dalla forze di superficie per spostare il fluido di un tratto $Δ l$ è pari a

$L_1 = p_1 S_1\Delta l = p_1V_1 \,$

dove $p 1$ è la pressione agente sulla sezione $S 1$ , e $V 1$ è il volume di fluido che ha attraversato $Δ l$ .

Analogamente vi dovrà essere un lavoro per spostare il fluido presente in una sezione a valle di $S 1$ . Tale lavoro sarà:

$L_2 = p_2V_2 \,$

Ne segue che il lavoro totale compiuto dalle forze di superficie è:

$L_S = L_1 + L_2 = p_1V_1 - p_2V_2 \,$

Il lavoro compiuto dalle forze di volume per spostare il fluido dall'altezza $h 1$ all'altezza $h 2$ sarà la variazione di energia potenziale gravitazionale:

$L_V = mgh_1 - mgh_2 \,$

La somma di $L S$ ed $L V$ , sarà uguale alla variazione di energia cinetica:

$L_S + L_V = {1 \over 2}mv_2^2 - {1 \over 2}mv_1^2$

da cui segue che:

$p_1V_1 - p_2V_2 + mgh_1 - mgh_2= {1 \over 2}mv_2^2 - {1 \over 2}mv_1^2$

che equivale a:

$p_1V_1 + mgh_1 + {1 \over 2}mv_1^2 = p_2V_2 + mgh_2 + {1 \over 2}mv_2^2$

dividendo quindi ambo i membri per il volume si ottiene:

$p_1 + \rho gh_1 + {1 \over 2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho gh_2 + {1 \over 2}\rho v_2^2$

che equivale a dire:

$p + \rho gh + {1 \over 2}\rho v^2 = costante$

in cui:

'p' è la pressione

ρ

' è la densità (costante) del fluido

'v' è la velocità

'g' è l'accelerazione di gravità

'h' è l'altezza

[modifica] Applicazioni del Teorema di Bernoulli

L'applicazione più famosa del teorema di Bernoulli è il calcolo della velocità di fuoriuscita di un fluido da un recipiente forato.

Si consideri un recipiente di forma qualsiasi riempito di un fluido, su cui è stato praticato un foro all'altezza $h 0 = 0$ . Considerando come $S 1$ la sezione del recipiente, $h$ l'altezza relativa ad $h 0$ a cui si trova la superficie libera del liquido e $S 2$ la sezione del foro si ottiene:

$p_1 + \rho gh + {1 \over 2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho gh_0 + {1 \over 2}\rho v_2^2$

ma $p 1 = p 2$ quindi:

$\rho gh + {1 \over 2}\rho v_1^2 = \rho gh_0 + {1 \over 2}\rho v_2^2$

Dal momento che $h 0 = 0$

$\rho gh + {1 \over 2}\rho v_1^2 = {1 \over 2}\rho v_2^2$

Ora, per la costanza del flusso $v 1$ è trascurabile rispetto a $v 2$ (poiché $S 1 > > S 2$ ), per cui:

$\rho gh = {1 \over 2}\rho v_2^2$

da cui segue:

$v_2^2 = 2gh$

$v_2 = \sqrt{2gh}$

anche detta velocità di efflusso torricelliana poiché Torricelli giunse allo stesso risultato nel 1644 prima dei lavori di Bernoulli.

[modifica] Voci correlate

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