Cyklus (algebra)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Nechť {r1,r2,...,rk} je podmnožina množiny M = {1,2,...,n}, kde k > 1. Pak takovou permutaci π, pro niž platí π(r1) = r2,π(r2) = r3,...,π(rk − 1) = rk,π(rk) = r1 a π(s) = s pro 
, nazýváme cyklem délky k a označujeme (r1,r2,...,rk).
Cyklus délky 2 se nazývá transpozicí.
[editovat] Nezávislé cykly
Máme-li dva cykly (r1,r2,...,rk) a (s1,s2,...,sm), pak je označujeme jako nezávislé, jestliže platí 
.
Cykly π1,π2,...,πm jsou nezávislé, jsou-li nezávislé každé dva cykly 
, pro i,j = 1,2,...,m.
Násobení dvou nezávislých cyklů π1,π2 je komutativní, tzn. 
.
[editovat] Rozklad permutace
Každou permutaci je možné rozložit na součin nezávislých cyklů, přičemž tento rozklad je (až na pořadí činitelů) jednoznačný.
Každou permutaci je také možno rozložit na součin transpozic. Rozklad na transpozice již není dán jednoznačně, pokud však existují dva různé rozklady permutace π na součin transpozic 
, pak m,l jsou buď obě sudá nebo obě lichá čísla. O permutaci π pak říkáme, že je sudá, pokud ji lze rozložit na sudý počet transpozic, nebo lichá, jestliže ji lze rozložit na lichý počet transpozic.
Znaménko permutace sgnπ, které má pro sudou permutaci hodnotu sgnπ = 1 a pro lichou permutaci hodnotu sgnπ = − 1.
