Permutace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

1 Definice
2 Permutace bez opakování
- 2.1 Příklad
3 Permutace s opakováním
- 3.1 Příklad
4 Zápis
- 4.1 Příklad zápisu
5 Samosdružený prvek
6 Inverzní permutace
7 Skládání permutací
- 7.1 Vlastnosti
8 Příklad
9 Poznámky
10 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Permutace $n$ prvků je skupina všech $n$ prvků, které jsou uspořádány v jakémkoliv možném pořadí, tzn. výběr prvků závisí na pořadí. Rozlišujeme permutace bez opakování a s opakováním.

Obecněji je permutace chápána jako bijektivní zobrazení z množiny $A$ na množinu $A$ .

[editovat] Permutace bez opakování

Pokud se prvky ve výběru nemohou opakovat, pak počet všech možných výběrů je určen vztahem

$P (n) = n!$ ,

kde $n!$ označuje faktoriál.

Pokud se hovoří o permutacích prvků, jsou tím obvykle myšleny permutace bez opakování.

[editovat] Příklad

Mějme skupinu tří různých prvků $a, b, c$ .

Permutace těchto prvků představují skupiny $a b c$ , $a c b$ , $b a c$ , $b c a$ , $c a b$ , $c b a$ . Jejich počet je tedy

$P (3) = 3! = 6$

[editovat] Permutace s opakováním

Pokud se prvky ve výběru mohou opakovat, pak počet permutací s opakováním je určen jako

$P_{n_1,n_2,...,n_k}(n) = \frac{n!}{{n_1!}\cdot{n_2!}\cdot...\cdot{n_k!}}$ ,

přičemž mezi vybranými prvky je $k$ skupin, které mají postupně $n 1, n 2,..., n k$ stejných prvků. Musí přitom platit - $n = \sum_{i=1}^{k} n_i$

[editovat] Příklad

Mějme skupinu tří prvků $a, a, b$ . Skupina je tedy složena ze dvou skupin (tedy $k = 2$ ), přičemž první skupina dva prvky $a$ , tzn. $n 1 = 2$ , a druhá skupina obsahuje jeden prvek $b$ , tzn. $n 2 = 1$ .

Permutacemi s opakováním získáme skupiny $a a b$ , $a b a$ , $b a a$ . Počet těchto skupin je tedy roven

$P_{2,1}(3) = \frac{3!}{{2!}\cdot{1!}} = 3$

[editovat] Zápis

Permutace lze zapsat tabulkou, kde v horním řádku je vstupní hodnota funkce a v dolním její výsledná hodnota. Nebo se zapisuje jako spojení cyklů nebo transpozic.

Permutace je lichá, pokud lze vyjádřit spojením lichého počtu cyklů délky 2. Permutace je sudá, pokud lze vyjádřit spojením sudého počtu cyklů délky 2.

[editovat] Příklad zápisu

Pomocí tabulky lze permutaci množiny ${1,2,3,4,5,6}$ zapsat jako

$\pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 &6\end{pmatrix}$

Pomocí cyklů a transpozic lze předchozí permutaci zapsat jako

$\pi = (1,3,5,4,2) \circ (6,6) = (1,3) \circ (3,5,4,2) \circ (6,6) = (1,3) \circ (3,5) \circ (5,4) \circ (4,2) \circ (6,6)$

Tato permutace je lichá.

[editovat] Samosdružený prvek

Každý prvek $r \in M$ , pro který platí $π(r) = r$ , se nazývá samodružným prvkem. V opačném případě se jedná o prvek nesamodružný.

Jestliže každý prvek permutace je samodružný, pak hovoříme o identické (jednotkové) permutaci. Příkladem takové permutace je

$\pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\end{pmatrix}$

[editovat] Inverzní permutace

K permutaci

$\pi = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ b_1 & b_2 & ... & b_n\end{pmatrix}$

je možné vytvořit inverzní permutaci

$\pi^{-1} = \begin{pmatrix}b_1 & b_2 & ... & b_n \\ a_1 & a_2 & ... & a_n\end{pmatrix}$

Inverzní permutaci značíme $π - 1$

Složením permutace $π$ a k ní inverzní permutace $π - 1$ získáme identickou permutaci.

[editovat] Skládání permutací

Mějme na množině $M$ dvě permutace

$\pi_1 = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ b_1 & b_2 & ... & b_n\end{pmatrix}$ $\pi_2 = \begin{pmatrix}b_1 & b_2 & ... & b_n \\ c_1 & c_2 & ... & c_n\end{pmatrix}$

Složením permutací $π 1,π 2$ (hovoříme také o součinu permutací) je permutace

$\pi = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ c_1 & c_2 & ... & c_n\end{pmatrix}$

Součin permutací zkráceně zapíšeme $\pi = \pi_1 \circ \pi_2$

Násobení permutací není v obecném případě komutativní, tzn. $\pi_1 \circ \pi_2 \neq \pi_2 \circ \pi_1$ .

[editovat] Vlastnosti

Máme-li na dané množině $M$ permutace $\pi, \pi_1, \pi_2, \pi_3 \,\!$ a identickou permutaci $I \,\!$ , pak platí vztahy

$\pi_1 \circ ( \pi_2 \circ \pi_3) = ( \pi_1 \circ \pi_2) \circ \pi_3 \,\!$
$\pi \circ I = I \circ \pi = \pi \,\!$
$\pi^{-1} \circ \pi = \pi \circ \pi^{-1} = I \,\!$

[editovat] Příklad

Zobrazení $f (a) = a + 1$ na celých číslech je permutace. Máme-li nyní permutaci $g (a) = a - 3$ definovanou na celých číslech. Pak $f \circ g(a) = f(g(a)) = f(a - 3) = a - 2$ .