Izoperimetrický problém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Izoperimetrický problém je úloha variačního počtu, při níž se hledá extrém funkcionálu, který musí vyhovovat určité doplňující podmínce.

Obsah

1 Formulace
2 Příklad
3 Podívejte se také na
4 Literatura

[editovat] Formulace

Mějme funkce $F(x,y,y^\prime), \Phi(x,y,y^\prime)$ , které mají na nějaké otevřené podmnožině $Ω$ trojrozměrného prostoru svých argumentů spojité parciální derivace do druhého řádu včetně. Nechť $L$ je množina všech křivek $K = \{[x,y]\in E_2|y=y(x),x\in\langle a,b\rangle\}$ třídy $T 1$ , přičemž pro $x\in\langle a,b\rangle$ platí $[x,y,y^\prime]\in\Omega$ .

Cílem je na množině křivek $K$ z množiny $L$ , pro které nabývá funkcionál

$G = \int_a^b \Phi(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x$

dané konstantní hodnoty, tzn. $G = konst.$ , najít křivku $K 0$ , pro kterou na uvažované množině křivek nabývá svého extrému funkcionál

$I = \int_a^b F(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x$

Taková úloha má smysl pouze v případě, pokud hledaná křivka $K 0$ není extremálou funkcionálu $G$ .

Nechť tedy pro křivku $K_0\in L$ definovanou vztahem $y=y_0(x), x\in\langle a,b\rangle$ , nabývá funkcionál $I$ extrému na množině křivek $K\in L$ s popisem $y = y (x)$ , které splňují podmínky

y (a) = y 0 (a)

y (b) = y 0 (b)

$G(K) = \int_a^b \Phi(x,y(x),y^\prime(x))\mathrm{d}x = C$

kde $C, y 0 (a), y 0 (b)$ jsou daná čísla.

Pokud $K 0$ není extremálou funkcionálu $G$ na množině všech křivek $K\in L$ vyhovujících uvedeným podmínkám, potom existuje konstanta $λ$ taková, že $K 0$ extremalizuje funkcionál

$H = \int_a^b \left[F(x,y,y^\prime)+\lambda \Phi(x,y,y^\prime)\right]\mathrm{d}x$

Pomocí Eulerovy rovnice je možné vyjádřit diferenciální rovnici příslušnou k danému variačnímu problému jako

$F_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F_{y^\prime}^\prime + \lambda \left(\Phi_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \Phi_{y^\prime}^\prime\right) = 0$

[editovat] Příklad

Schéma k příkladu izoperimetrického problému.

Jako příklad izoperimetrického problému může sloužit úloha, kdy máme najít mezi všemi křivkami s popisem $y=y(x), x\in\langle a,b\rangle$ třídy $T 1$ ležícími v horní polorovině, tzn. $y\geq 0$ , s krajními body $A [a,0], B [b,0]$ a pevně danou délkou $l > b - a$ takovou křivku, která spolu s úsečkou $A B$ vymezuje plochu maximálního obsahu.

Plochu vymezenou úsečkou $A B$ lze podle zapsat jako

$I(K) = \int_a^b y\mathrm{d}x$

Délka křivky $K$ má pevně danou hodnotu $l$ a lze ji určit jako

$G(K) = \int_a^b \sqrt{1+{y^\prime}^2}\mathrm{d}x = l$

Množina přípustných křivek je omezena okrajovými podmínkami

y (a) = y (b) = 0

Hledaná křivka nesmí být extremálou funkcionálu $G (K)$ . Funkcionál $G (K)$ patří mezi speciální případy Eulerovy rovnice a jeho extremálou je křivka $y = 0$ . Tato extremála má však délku $b - a$ , která je menší než $l$ . Hledaná křivka $K$ však musí mít délku větší než $b - a$ , tzn. nejde o extremálu funkcionálu $G (K)$ .

Dosazením do $H$ , dostaneme

$y + \lambda\sqrt{1+{y^\prime}^2} - y^\prime\lambda \frac{y^\prime}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = \alpha$ ,

kde $α$ je konstanta. Úpravou tohoto vztahu získáme

$y = \alpha - \frac{\lambda}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}}$

Položíme $y^\prime = \operatorname{tg}\varphi$ a pro $\varphi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ dostaneme z předchozího vztahu

$y = \alpha - \lambda\cos\varphi$

Derivací tohoto vztahu a dosazením $y^\prime = \operatorname{tg}\varphi$ dostaneme $\mathrm{d}x = \lambda\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi$ , odkud integrací získáme

$x = \lambda\sin\varphi \;+ \beta$ ,

kde $β$ je integrační konstanta.

Z předchozích dvou vztahů dostaneme

(x - β) 2 + (y - α) 2 = λ 2

Konstanty $α,β,λ$ určíme z hodnoty $l$ a podmínek $y (a) = y (b) = 0$ .

Pokud by bylo $λ = 0$ , pak z $y=\alpha-\frac{\lambda}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}}$ a podmínky $l > b - a$ dostaneme $y = α = konst.$ , což by podle $y (a) = y (b) = 0$ vedlo k tomu, že extremálou je úsečka spojující body $A, B$ . Ta však má délku $b - a$ , což je spor s podmínkou $l > b - a$ . Musí tedy být $\lambda\neq 0$ .

Pro $\lambda\neq 0$ plyne z $(x - β) 2 + (y - α) 2 = λ 2$ , že extremálou je oblouk kružnice s krajními body $A, B$ , poloměrem $| λ |$ a středem $S [α,β]$ .

Pro $l<\frac{\pi}{2}(b-a)$ je hledanou křivkou uvedený oblouk kružnice.

Pro $l=\frac{\pi}{2}(b-a)$ jde o půlkružnici, která však nemá vlastní derivace v bodech $A$ a $B$ , tzn. křivka není v $\langle a,b\rangle$ třídy $T 1$ . I v tomto případě se však jedná o křivku řešící daný problém.