Aplikace integrálu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Určité integrály je možné použít nejen v matematice k výpočtu délek křivek, obsahů ploch a objemů těles, ale také v jiných oblastech vědy.

S integrály se lze často setkat ve fyzice nebo v technice.

Obsah

1 Jednoduchý integrál
2 Dvojný integrál
3 Trojný integrál
- 3.1 Objem oblasti
- 3.2 Hmotnost tělesa
4 Křivkový integrál
- 4.1 Délka křivky
- 4.2 Obsah plochy
5 Podívejte se také na

[editovat] Jednoduchý integrál

Pomocí určitého integrálu jedné proměnné lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

[editovat] Obsah rovinného obrazce

Obsah plochy ohraničené grafem kladné funkce.

Mějme v kartézských souřadnicích zadanou funkci $f (x)$ , pro kterou na intervalu $\langle a,b\rangle$ platí $f(x) \geq 0$ . Obsah ohraničený touto křivkou určíme jako (integrální) součet elementárních ploch $d S = f (x)d x$ . Výsledný obsah tedy získáme ze vztahu

$S = \int_a^b \mathrm{d}S = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

Obsah plochy ohraničené grafem funkce.

Není-li na celém intervalu $\langle a,b\rangle$ splněna podmínka $f(x) \geq 0$ , lze pro výpočet obsahu použít vztahu

$S = \int_a^b \mathrm{d}S = \int_a^b \left|f(x)\right|\mathrm{d}x$

Obsah plochy ohraničené dvěma funkcemi.

Je-li plocha vymezena dvěma křivkami $f (x), g (x)$ , přičemž $0 \leq f(x) \leq g(x)$ , pak je její obsah určen vztahem

$S = \int_a^b g(x)\mathrm{d}x - \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^b \left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{d}x$

Je-li křivka, kterou je plocha omezena vyjádřena parametricky, tzn. $x = φ(t), y = ψ(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ , a pokud existuje spojitá derivace $\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}$ , pak lze element plochy vyjádřit jako

$\mathrm{d}S = y\mathrm{d}x = \left|\psi(t) \frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t$

V parametrickém vyjádření má tedy integrál tvar

$S = \int_\alpha^\beta \left|\psi(t)\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t$

Obsah plochy v polárních souřadnicích.

Máme-li křivku $r (φ)$ v polárních souřadnicích, pak obsah plochy ohraničené touto křivkou určuje integrál

$S = \frac{1}{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} r^2\mathrm{d}\phi$

[editovat] Délka rovinné křivky

Mějme křivku, která je v kartézských souřadnicích popsána spojitou funkcí $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ .

Interval $\langle a,b\rangle$ rozdělíme body $x k$ a budeme předpokládat, že je možné křivku funkce $f (x)$ nahradit lomenou čarou, která prochází body $(x k, f (x k)$ . Vzdálenost mezi dvěma sousedními body $x k$ označme $l k$ . Celková délka lomené čáry dělená na $n$ částí je tedy rovna součtu všech délek $l k$ , tzn. $l(n) = \sum_{k=1}^n l_k$ . Při zjemňování dělení se délka lomené čáry bude stále více blížit délce křivky. V limitním případě, tzn. $n \to \infty$ ∞, bude délka lomené čáry rovna délce křivky.

Délku k-tého elementu lomené čáry lze vyjádřit jako

$l_k^2 = {(x_k - x_{k-1})}^2 + {[f(x_k)-f(x_{k-1})]}^2 = \Delta^2 x_k + {f^\prime(x_k)}^2 \Delta^2 x_k = \left[1+{f^\prime(x_k)}^2\right] \Delta^2 x_k$

odkud plyne

$l_k = \sqrt{1 + {f^\prime(x_k)}^2 \Delta x_k}$

Celkovou délku křivky pak získáme součtem všech předchozích příspěvků pro dělení, při němž $n \to \infty$ , tzn.

$l = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + {f^\prime(x_k)}^2 \Delta x_k} = \int_a^b \sqrt{1 + {f^\prime(x)}^2}\mathrm{d}x$

V některých případech je vhodné upravit diferenciál (element) délky křivky $d l$ na jiný tvar

$\mathrm{d}l = \sqrt{1 + {f^\prime(x)}^2}\mathrm{d}x = \sqrt{1 + {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2}\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2}$

Předchozí zápis lze použít v případě, že křivka je vyjádřena parametrickými rovnicemi, tzn. $x = φ(t), y = ψ(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ . Diferencováním parametrických rovnic podle $t$ dostaneme $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t, \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ . Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

$l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t$

Podobně postupujeme i v případě křivky zadané v polárních souřadnicích rovnicí $r (φ)$ . Transformací do kartézských souřadnic získáme parametrické rovnice $x = r (φ)cosφ, y = r (φ)sinφ$ . Jejich diferenciací dostaneme po úpravě

$l = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)}^2 + r^2}\mathrm{d}\phi$

[editovat] Obsah rotační plochy

Obsah rotační plochy.

Mějme v kartézských souřadnicích křivku, kterou popíšeme funkcí $f (x)$ , kde $x \in \langle a,b\rangle$ . Rotací této křivky kolem osy x získáme plochu $P$ , jejíž obsah označíme $S (P)$ .

Element obsahu plochy určíme jako součin elementu délky křivky a obvodu (pro dané x), tzn.

$\mathrm{d}S(P) = 2\pi f(x)\mathrm{d}l = 2\pi f(x) \sqrt{1 + {f^\prime(x)}^2}\mathrm{d}x = 2\pi y \sqrt{1 + {(y^\prime)}^2}\mathrm{d}x$

Integrací tohoto vztahu pak dostaneme

$S(P) = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + {f^\prime(x)}^2}\mathrm{d}x = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1+{(y^\prime)}^2}\mathrm{d}x$

Je-li křivka vyjádřena parametrickými rovnicemi $x = φ(t), y = ψ(t)$ , kde $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ , lze psát

$S(P) = 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+{(y^\prime)}^2}\mathrm{d}x = 2\pi\int_a^b y\sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2} = 2\pi \int_\alpha^\beta |\psi(t)| \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t$

Je-li křivka zadána v polárních souřadnicích rovnicí $r (φ)$ , pak transformací do kartézských souřadnic získáme parametrické rovnice $x = r (φ)cosφ, y = r (φ)sinφ$ , čímž dostaneme

$S(P) = 2\pi \int_{\phi_1}^{\phi_2} r(\phi)\sin\phi \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)}^2 + r^2}\mathrm{d}\phi$

[editovat] Objem rotačního tělesa

Objem rotačního tělesa ohraničeného funkcí rotující kolem osy x.

Mějme v kartézských souřadnicích křivku, kterou popíšeme funkcí $f (x)$ , kde $x \in \langle a,b\rangle$ . Rotací této křivky kolem osy x získáme plochu $P$ , která ohraničuje těleso o objemu $V$ .

Uvažujme plochu $S$ , která je ohraničena křivkou $f (x)$ , osou x a kolmicemi k ose x v bodech a a b. Otáčením této plochy kolem osy x získáme hledané těleso.

Pokud budeme předpokládat, že mezi body $x$ a $x + d x$ se hodnota funkce $f (x)$ téměř nemění, pak získáme válec o poloměru $f (x)$ a výšce $d x$ . Jeho objem zapíšeme $d V = π f (x) 2 d x$ . Integrací tohoto vztahu dostaneme celkový objem tělesa

$V = \pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x = \pi\int_a^b y^2 \mathrm{d}x$

Objem rotačního tělesa ohraničeného funkcí rotující kolem osy y.

Je-li osou rotace křivky osa y, má výraz pro objem takového tělesa tvar

$V = 2\pi\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x = 2\pi\int_a^b xy\mathrm{d}x$

Objem rotačního tělesa ohraničeného dvěma funkcemi

Je-li objem tělesa určen rotací (kolem osy x) dvou křivek, které jsou určeny funkcemi $f (x), g (x)$ , přičemž $g(x) \leq f(x)$ , pak má takové těleso objem

$V = \pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x - \pi\int_a^b g^2(x)\mathrm{d}x = \pi\int_a^b \left[f^2(x)-g^2(x)\right]\mathrm{d}x$

Je-li křivka vyjádřena parametrickými rovnicemi $x = φ(t), y = ψ(t)$ , kde $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$ , pak dosazením do předchozích vztahů dostaneme

$V = \int_\alpha^\beta \psi^2(t)\left|\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t$

[editovat] Dvojný integrál

Dvojný integrál lze použít pro výpočet obsahu rovinného obrazce, objemu tělesa válcovitého tvaru nebo obsahu zakřivené plochy nad danou oblastí.

Ve fyzice lze dvojných integrálů opět použít pro výpočet statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště nebo celkové hmotnosti.

[editovat] Obsah rovinného obrazce

Obsah ohraničené oblasti $Ω$ lze určit výpočtem dvojného integrálu

$S = \iint_\Omega \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ,

kde x a y jsou kartézské souřadnice na oblasti $Ω$ .

[editovat] Objem válcovitého tělesa

Objem válcovitého tělesa omezeného plochou.

Mějme na oblasti $Ω$ definovánu funkci $z = f (x, y)$ , přičemž předpokládejme, že na oblasti $Ω$ je $z\geq 0$ . Objem tělesa válcovitého (nebo hranolovitého) tvaru, jehož dolní podstavou je oblast $Ω$ v rovině $x y$ a horní podstavu tvoří plocha $z = f (x, y)$ (nad oblastí $Ω$ ), získáme výpočtem dvojného integrálu

$V = \iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Objem válcovitého tělesa omezeného dvěma plochami.

Máme-li nad oblastí $Ω$ definovány dvě funkce $f (x, y), g (x, y)$ a pro všechny body oblasti $Ω$ platí $0\leq g(x,y)\leq f(x,y)$ , pak lze objem válcovitého (hranolovitého) tělesa omezeného dvěma plochami $f (x, y), g (x, y)$ nad oblastí $Ω$ určit ze vztahu

$V= \iint_\Omega \left[f(x,y)-g(x,y)\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

[editovat] Obsah zakřivené plochy nad danou oblastí

Obsah zakřivené plochy nad danou oblastí.

Mějme oblast $Ω$ , nad níž je definována zakřivená plocha $z = f (x, y)$ . Obsah této plochy lze vypočítat pomocí dvojného integrálu

$S = \iint_\Omega \sqrt{1 + {(f_x^\prime)}^2 + {(f_y^\prime)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ,

kde $f_x^\prime, f_y^\prime$ jsou parciální derivace funkce $f (x, y)$ podle x a y.

[editovat] Trojný integrál

Trojný integrál má ve fyzice důležité postavení. Umožňuje především určit objem trojrozměrné oblasti prostoru. Trojný integrál je však používán hlavně k výpočtu celkové hodnoty veličiny na základě znalosti jejího prostorového rozložení v dané oblasti. Příkladem může být např. určení celkové hmotnosti tělesa na základě prostorového rozložení hustoty hmotnosti. Trojný integrál lze také použít pro výpočet statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště a dalších veličin.

[editovat] Objem oblasti

Je-li $Ω$ trojrozměrná oblast, pak její objem lze vyjádřit trojným integrálem

$V = \iiint_\Omega \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

[editovat] Hmotnost tělesa

Je-li známo rozložení nějaké veličiny v prostoru, např. hustoty hmotnosti $ρ(x, y, z)$ , pak celková hodnota veličiny, např. hmotnosti $M$ , v dané oblasti $Ω$ je dána trojným integrálem

$M = \iiint_\Omega \rho(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

[editovat] Křivkový integrál

Přímo z definice křivkových integrálů plyne, že je lze použít pro výpočet obsahu plochy, která je nad křivkou k omezena funkcí $f (x, y)$ a také obsahu průmětu této plochy do jednotlivých souřadnicových rovin. Pro výpočet obsahu použijeme integrál prvního druhu, pro výpočet průmětů pak integrály druhého druhu.