Množinové operace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Termínem množinové operace jsou označovány operace, jejichž operandy mohou být výhradně množiny - jedná se o sjednocení, průnik, rozdíl množin, doplněk množiny a kartézský součin.

Obsah

1 Množinové operace
2 Formální definice
3 Příklad
4 Užitečné vztahy
5 Podívejte se také na

[editovat] Množinové operace

[editovat] Sjednocení

Sjednocení množin $A \,\!$ a $B \,\!$ je množina všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin $A \,\!$ a $B \,\!$ .

Značí se $A \cup B \,\!$ .

[editovat] Průnik

Průnik množin $A \,\!$ a $B \,\!$ je množina všech prvků, které patří do množiny $A \,\!$ a zároveň do množiny $B \,\!$ .

Značí se $A \cap B \,\!$ .

[editovat] Rozdíl

Rozdíl množin $A \,\!$ a $B \,\!$ je množina, které patří množině $A \,\!$ , ale nepatří množině $B \,\!$ .

Značí se $A - B \,\!$ nebo $A \backslash B$ .

[editovat] Doplněk (komplement)

Doplněk (komplement) množiny $A \,\!$ je unární operace označující všechny prvky, které nepatří množině $A$ . V případě doplňku by mělo být z kontextu jasné, do které množiny se doplněk počítá, pokud není uvedeno, myslí se doplněk do univerzální třídy.

Značí se $A^\prime$ nebo $-A \,\!$ .

[editovat] Kartézský součin

Kartézský součin množin $A \,\!$ a $B \,\!$ je množina všech uspořádaných dvojic, jejichž první prvek patří do $A \,\!$ a druhý prvek patří do $B \,\!$ .

Značí se $A \times B \,\!$ .

[editovat] Formální definice

Po slovní definici z předešlých kapitol uveďme ještě formální definice množinových operací v jazyce teorie množin:

$A \cup B = \{x: x \isin A \vee x \isin B \} \,\!$
$A \cap B = \{x: x \isin A \and x \isin B \} \,\!$
$A - B = \{x: x \isin A \and x \notin B \} \,\!$
$-A = \{x: x \notin A \} \,\!$
$A \times B = \{[x,y]: x \isin A \and y \isin B \} \,\!$

[editovat] Příklad

Uvažujme o dvou množinách $A = \{ 0,1,2,3 \} \,\!$ a $B = \{ 2,4,6 \} \,\!$ , za základní množinu (z hlediska doplňku) vezměme množinu $\omega \,\!$ všech přirozených čísel.

$A \cup B = \{ 0,1,2,3,4,6 \} \,\!$
$A \cap B = \{ 2 \} \,\!$
$A - B = \{ 0,1,3 \} \,\!$
$-A = \omega - A = \{ 4,5,6,7,\ldots \} \,\!$
$A \times B = \{ [0,2],[0,4],[0,6],[1,2],[1,4],[1,6],[2,2],[2,4],[2,6],[3,2],[3,4],[3,6] \} \,\!$