Kartézský součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin $X \,\!$ a $Y \,\!$ je množina, označená $X \times Y \,\!$ , která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny $X \,\!$ a druhá položka je prvkem množiny $Y \,\!$ . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

[editovat] Formální definice

$X \times Y = \{ (x,y) : x \isin X \and y \isin Y \} \,\!$

Příklad:

Kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32-prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.
Kartézským součinem množiny všech reálných čísel $\mathbb{R} \,\!$ se sebou samou vznikne rovina $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\!$ , což je možno psát jako $\mathbb{R}^2 \,\!$ („Kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí $(x,y) : x,y \isin \mathbb{R} \,\!$ , viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

$X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n = \{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_i \isin X_i , 1 \leq i \leq n \} \,\!$

Příkladem takového součinu je Euklidovský prostor $\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\!$ .

[editovat] Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin.
Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina: $A \times B = \emptyset \,\!$ , pak je $A = \emptyset \,\!$ nebo $B = \emptyset \,\!$ .

Jestliže $A \times B \neq \emptyset$ a $A \times B = C \times D \,\!$ , pak je $A = C \,\!$ a $B = D \,\!$ .

[editovat] Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

$\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}$

Zde $I \,\!$ je množina indexů, $\{ X_i : i \isin I \} \,\!$ je množina operandů (množin), indexovaná prvky $I \,\!$ .

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z $I \,\!$ do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde $(x_1,x_2,\ldots) \,\!$ odpovídá takové funkci $f \,\!$ , u které $f(1) = x_1, f(2) = x_2, \ldots \,\!$ .

[editovat] Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině $X \,\!$ jsou určité podmnožiny $X \times X \,\!$ , operace na množině jsou určité podmnožiny $X \times X \times X \,\!$ .