Peanovy axiomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou $\mathbb{N}_0$ . Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s $\mathbb{N}_0$ . Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Obsah

1 Znění axiomů
2 Definice operací a uspořádání na přirozených číslech
3 Přirozená čísla bez nuly
4 Podívejte se také na

[editovat] Znění axiomů

[editovat] Formální zápis

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

$(\exists x) (\forall y)(y' \neq x)$
$(\forall x) (\exists y ) x' = y$
$(\forall x) (\forall y) (x' = y' \rightarrow x = y)$
$(\forall \varphi) (\varphi(0) \and (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow \varphi(x')) \rightarrow (\forall x)\,\varphi(x))$

[editovat] Slovní zápis

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

0 je přirozené číslo.
Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

[editovat] Axiom indukce

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost $\varphi$ .

[editovat] Definice operací a uspořádání na přirozených číslech

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

Součet $\,a+b$ definujeme indukcí podle druhého sčítance: $\,a+0=a,\; a+b'=(a+b)'$
Součin $a\cdot b$ definujeme indukcí podle druhého činitele: $a\cdot 0=0,\; a\cdot b'= a \cdot b +a$
Relaci $a\leq b$ definujeme formulí $a\leq b \leftrightarrow (\exists c)(a+c=b)$

[editovat] Přirozená čísla bez nuly

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.