Аксиомы Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиомы Пеано — система аксиом, определяющих ряд натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения рациональных и вещественных чисел.

[править] Формулировки

[править] Словесная

1 является натуральным числом;
Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$ , так и за числом $c$ , то $b$ и $c$ тождественны;
Аксиома полной индукции: Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа $n$ , вытекает, что оно верно для следующего за $n$ натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

[править] Математическая

Введём функцию $S (x)$ , которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N}$ ;
$\nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1)$ ;
$S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c)$ ;
$P(1)\rightarrow(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n)))$ .

[править] Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

«0 есть натуральное число»;
«следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
«0 не следует ни за каким натуральным числом»;
«всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
Аксиома полной индукции.

Примечание: то, что первый элемент здесь 0, а не 1, принципиального значения не имеет.

[править] История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид.

[править] Литература

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938 (содержание и djvu-файл с полным текстом).