Počáteční podmínky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsahuje-li řešení diferenciální rovnice $r$ integračních konstant, můžeme tyto konstanty eliminovat a omezit tak obecné řešení diferenciální rovnice tím, že budeme požadovat, aby řešení splňovalo $r$ podmínek. Tyto podmínky mohou být okrajové nebo počáteční.

[editovat] Definice

Počátečními podmínkami určujeme, jak má vypadat funkce, popř. její derivace v určitém časovém okamžiku na celé oblasti, na níž diferenciální rovnici řešíme.

Řešení rovnic s počátečními podmínkami označujeme jako Cauchyovy úlohy (problémy) nebo úlohy (problémy) s počátečními podmínkami.

[editovat] Příklad

Příkladem počáteční podmínky při řešení vlnové rovnice na intervalu $\langle a,b\rangle$ může být podmínka $y (x,0) = y 0 (x)$ , tzn. v čase $t = 0$ musí mít řešení stejný tvar jako funkce $y 0 (x)$ . Tato podmínka určuje v daném okamžiku řešení na celé oblasti, na níž diferenciální rovnici řešíme.

[editovat] Cauchyova úloha

Cauchyovou úlohou (problémem) nazýváme úlohu, při níž hledáme řešení diferenciální rovnice se zadanými počátečními podmínkami.

Příkladem z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic je úloha nalézt řešení rovnice $y^\prime=f(x,y)$ za počáteční podmínky $y (x 0) = y 0$ .

Podobně pro parciální diferenciální rovnice je Cauchyovým problémem úloha najít řešení parciální diferenciální rovnice, které splňují určité počáteční podmínky.

Za Cauchyovu úlohu označíme např. řešení rovnice

$\frac{\part^2 z}{\part x^2} = f\left(x,y,z,\frac{\part z}{\part x},\frac{\part z}{\part y},\frac{\part^2 z}{\part x\part y},\frac{\part^2 z}{\part y^2}\right)$