Interval (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se jako interval označuje množina reálných čísel, které leží mezi dvěma určenými čísly, která se označují jako meze intervalu. Např. interval „(10;20)“ popisuje množinu reálných čísel mezi 10 a 20, bez těchto čísel. Interval „<10;20>“ pak označuje množinu reálných čísel mezi 10 a 20, včetně těchto čísel. (Podrobnosti viz níže.)

Obecně je v abstraktní matematice interval definován jako podmnožina S nějaké lineárně uspořádané množiny T, pro kterou platí, že kdykoli x, y ∈ S a x < z < y, pak z ∈ S. Výše uvedená definice pak je důležitým speciálním případem s T = R.

[editovat] Typy intervalů

Intervaly reálných čísel mohou mít jeden z následujících tvarů (a, b jsou reálná čísla, kde a < b):

(a,b) = { x | a < x < b }
<a,b> = { x | a ≤ x ≤ b }
<a,b) = { x | a ≤ x < b }
(a,b> = { x | a < x ≤ b }
(a,∞) = { x | a < x }
<a,∞) = { x | a ≤ x }
(−∞,b) = { x | x < b }
(−∞,b> = { x | x ≤ b }
(−∞,∞) = R, celá množina reálných čísel
{a} v případě <a,a>
prázdná množina v případě (a,a), popř. když je levá mez vyšší než pravá.

Intervaly (1), (5), (6), (7), (11) se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), interval (2) a intervaly (6), (8), (9), (10), (11) jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly (3) a (4) se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené.

[editovat] Intervalová aritmetika

Intervalovou matematiku představil v roce 1956 M. Warmus. Tato aritmetika definuje operace nad intervaly tak, že

A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z }

Pro běžné operace to znamená:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) − (c,d) = (a−d, b−c)
(a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd})
(a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d})

Dělení intervalem, který obsahuje nulu není definováno. Sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a poddistributivní (množina X (Y + Z) je podmnožinou XY + XZ).

[editovat] Alternativní značení

Místo kulatých a špičatých závorek se v cizojazyčné litetatuře objevují buď kulaté a hranaté (zvláště v anglicky psaných knihách) nebo hranaté závorky [a;b] pro uzavřené a ]a;b[ pro otevřené intervaly (zvláště ve francouzské literatuře).