Obyčejné diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obyčejné diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou funkci jedné proměnné a derivace této funkce.

Obyčejnou diferenciální rovnici $n$ -tého řádu zapisujeme v obecném tvaru jako

$F\left(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n)}\right) = 0$ ,

kde $y = \varphi(x)$ je hledaná funkce.

Pokud jsme schopni vyjádřit uvedenou ve tvaru

$y^{(n)} = f\left(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n-1)}\right)$ ,

pak říkáme, že rovnice je rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci.

Obecné vyjádření obyčejné diferenciální rovnice zahrnuje lineární i nelineární diferenciální rovnice. Lineární diferenciální rovnice $n$ -tého řádu je možné vyjádřit ve tvaru

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_1(x)y^\prime+a_0(x)y = b(x)$

Obsah

1 Rovnice prvního řádu
- 1.1 Separabilní diferenciální rovnice
- 1.2 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
  - 1.2.1 Metoda variace konstanty
  - 1.2.2 Substituční metoda
2 Rovnice vyšších řádů
- 2.1 Speciální typy rovnic vyšších řádů
- 2.2 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu
3 Podívejte se také na

[editovat] Rovnice prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice 1.řádu obsahuje pouze první derivace hledané funkce. Lze ji tedy vyjádřit ve tvaru

$F(x,y,y^\prime) = 0$ ,

kde $y = \varphi(x)$ je hledaná funkce. Pokud lze uvedenou rovnici rozřešit vzhledem k $y^\prime$ pak užíváme tvaru

$y^\prime = f(x,y)$

Tyto rovnice slouží k obecnému popisu lineárních i nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.

Příkladem nelineární diferenciální rovnice prvního řádu může být rovnice $yy^\prime = f(x)$ .

Obecný tvar lineární diferenciální rovnice prvního řádu lze zapsat jako

$y^\prime + a(x)y = b(x)$

Nejjednodušší diferenciální rovnici získáme z předchozího vyjádření pro $a (x) = 0$ . Jde tedy o rovnici typu

$y^\prime = f(x)$

Jedná se o lineární diferenciální rovnici prvního řádu, jejíž obecný integrál má tvar

$y = \int f(x)\mathrm{d}x$

[editovat] Separabilní diferenciální rovnice

Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, kterou lze vyjádřit ve tvaru

$y^\prime = f(x,y)$

Funkci $f (x, y)$ označíme jako separabilní (separovatelnou), pokud ji lze vyjádřit jako součin dvou funkcí $g (x)$ a $h (y)$ , tzn. $f (x, y) = g (x) h (y)$ . Uvedená diferenciální rovnice pak získá tvar

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)$

Takovéto diferenciální rovnice se označují jako separabilní (separovatelné) diferenciální rovnice.

V rovnici $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)$ oddělíme (separujeme) proměnné, čímž dostaneme

$\frac{\mathrm{d}y}{h(y)} = g(x)\mathrm{d}x$

Integrací obou stran této rovnice získáme obecné řešení, tzn.

$\int \frac{\mathrm{d}y}{h(y)} = \int g(x)\mathrm{d}x + C$ ,

kde $C$ je integrační konstanta.

[editovat] Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze v obecném tvaru zapsat jako

$y^\prime+p(x)y=q(x)$ ,

kde $p (x), q (x)$ jsou spojité funkce. Tuto rovnici označujeme pro $q(x)\neq 0$ jako nehomogenní rovnici, lineární diferenciální rovnici s pravou stranou nebo také úplnou lineární diferenciální rovnici.

Rovnici pro $q (x) = 0$ , tzn.

$y^\prime + p(x)y=0$

označujeme jako homogenní rovnici, rovnici bez pravé strany nebo také jako zkrácenou lineární diferenciální rovnici.

Pokud $p (x) = p$ , kde $p\in \mathbb{R}$ , pak hovoříme o lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.

Homogenní rovnici lze řešit separací proměnných. Převedeme-li výraz $p (x) y$ na pravou stranu rovnice a vydělíme $y$ , můžeme provést integraci obou stran, tzn.

$\int \frac{\mathrm{d}y}{y} = -\int p(x)\mathrm{d}x$

Po integraci levé strany a odstranění logaritmu dostaneme

$y = \mathrm{e}^{- \int p(x)\mathrm{d}x + c}$

Integrační konstantu $c$ přepíšeme pomocí vztahu $C = e c$ , čímž získáme obecné řešení homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru

$y = C\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$

Řešení rovnice $y^\prime+p(x)y=q(x)$ hledáme nejčastěji metodou variace konstanty nebo substituční metodou.

[editovat] Metoda variace konstanty

Metoda variace konstant (parametrů) (též Lagrangeova metoda) spočívá v tom, že řešení nehomogenní rovnice $y^\prime+p(x)y=q(x)$ hledáme ve tvaru $y = C(x)\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ , tzn. předpokládáme, že řešení má stejný tvar jako v případě homogenní rovnice, avšak $C$ nepovažujeme za konstantu, ale za funkci $C (x)$ , kterou je nutno určit tak, aby řešení vyhovovalo nehomogenní rovnici. Derivací takto upraveného řešení dostaneme

$y^\prime = C^\prime(x)\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x} + C(x)\left[-p(x)\right]\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$

Dosazením do $y^\prime+p(x)y=q(x)$ dostaneme po úpravě

$C^\prime(x)\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x} = q(x)$

Převedením $\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ na pravou stranu a integrací získáme

$C(x) = \int\left[q(x)\mathrm{e}^{\int p(x)\mathrm{d}x}\right]\mathrm{d}x + C_1$

Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu lze tedy vyjádřit ve tvaru

$y = \left\{\int\left[q(x)\mathrm{e}^{\int p(x)\mathrm{d}x}\right]\mathrm{d}x + C_1\right\}\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$

Podle předchozího výsledku lze obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu získat jako součet obecného řešení homogenní rovnice, tedy $C_1\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ a partikulárního řešení (pro $C 1 = 0$ ) nehomogenní rovnice, tzn. $\left\{\int \left[q(x)\mathrm{e}^{\int p(x)\mathrm{d}x}\right]\mathrm{d}x\right\}\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ .

[editovat] Substituční metoda

Při substituční (Bernoulliově) metodě předpokládáme, že hledanou funkci $y$ lze vyjádřit jako součin funkci $u$ a $v$ , tzn. $y = u (x) v (x)$ . Dosazením do $y^\prime+p(x)y=q(x)$ dostaneme

$u^\prime v +u v^\prime + p uv = u^\prime v+u(v^\prime + pv) = q$

O členech v závorce dále předpokládáme, že splňují podmínku

$v^\prime(x)+p(x)v(x)=0$

Na základě této podmínky lze funkci $v (x)$ vyjádřit ve tvaru $y=C\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ . Dosadíme-li uvedenou podmínku a její řešení do předcházejícího vztahu, dostaneme

$u^\prime(x)\mathrm{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x} = q(x)$

Separací proměnných pak získáme

$u^\prime(x) = q(x)\mathrm{e}^{\int p(x)\mathrm{d}x}$

Integrací tohoto vztahu dostaneme

$u(x) = \int \left[q(x)\mathrm{e}^{\int p(x)\mathrm{d}x}\right]\mathrm{d}x + C_1$

Obecné řešení pak získáme jako součin funkcí $u, v$ .

Tuto metodu lze použít např. při řešení Bernoulliovy rovnice.

[editovat] Rovnice vyšších řádů

Obyčejnou diferenciální rovnici $n$ -tého řádu, kde $n\geq 2$ , lze v obecném tvaru zapsat jako

$F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n)}) = 0$ ,

kde $y=\varphi(x)$ je hledaná funkce. Pro $n = 2$ hovoříme o rovnicích druhého řádu, pro $n = 3$ o rovnicích třetího řádu atd. Všechny diferenciální rovnice pro $n\geq 2$ bývají označovány společným názvem diferenciální rovnice vyšších řádů, popř. v daném konkrétním případě hovoříme o diferenciální rovnici $n$ -tého řádu. Pro $n = 1$ se jedná o diferenciální rovnice prvního řádu, které mezi rovnice vyšších řádů nezařazujeme.

Pokud jsme schopni vyjádřit diferenciální rovnici vyššího řádu ve tvaru

$y^{(n)} = f(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n-1)})$ ,

pak říkáme, že rovnice je rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci.

Obecný tvar diferenciální rovnice vyššího řádu zahrnuje lineární i nelineární diferenciální rovnice.

[editovat] Speciální typy rovnic vyšších řádů

Některé diferenciální rovnice vyšších řádů mají speciální tvar, který umožňuje jejich snadnější řešení.

Příkladem takové diferenciální rovnice jsou rovnice typu

y (n) = f (x)

Tento typ diferenciálních rovnic řešíme postupnou integrací, tzn.

$y^{(n-1)} = \int f(x)\mathrm{d}x + C_1$

$y^{(n-2)} = \int \mathrm{d}x \int f(x)\mathrm{d}x + C_1 x+C_2$

...

$y = \int \mathrm{d}x \cdots\int f(x)\mathrm{d}x + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + ... +C_n$

Jiným speciálním typem jsou rovnice

F (x, y (k), y (k + 1),..., y (n)) = 0

kde $k\geq 1, n\geq k$ .

V takové rovnici se tedy nevyskytuje funkce $y$ , ale pouze její derivace (od $k$ -té po $n$ -tou).

Diferenciální rovnice tohoto typu řešíme pomocí substituce

y (k) = p (x)

Použitím této susbtituce přejde uvedená rovnice do tvaru

$F(x,p,p^\prime,p^{\prime\prime},...,p^{(n-k)}) = 0$

Řešením této rovnice získáme funkci $p (x)$ , kterou dosadíme do $y (k) = p (x)$ , čímž získáme rovnici speciálního typu $y (n) = f (x)$ .

[editovat] Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Lineární diferenciální rovnice $n$ -tého řádu má obecný tvar

$y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + a_{n-2}(x)y^{(n-2)} + ... + a_1(x)y^\prime + a_0(x)y = b(x)$ ,

kde $a n - 1 (x), a n - 2 (x),..., a 0 (x), b (x)$ jsou funkce, které jsou spojité na intervalu, na němž diferenciální rovnici řešíme.

Lineární rovnici pro $b(x)\neq 0$ označujeme jako nehomogenní rovnici, lineární diferenciální rovnici s pravou stranou nebo také úplnou lineární diferenciální rovnici.

Rovnici pro $b (x) = 0$ , tzn.

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_1(x)y^\prime+a_0(x)y = 0$

označujeme jako homogenní rovnici, rovnici bez pravé strany nebo také jako zkrácenou lineární diferenciální rovnici.

Pokud $a i (x) = a i$ pro všechna $i$ , kde $a_i\in\mathbb{R}$ , pak hovoříme o lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.

Při řešení homogenních rovnic často využíváme toho, že pokud jsou funkce $y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)$ řešením dané homogenní rovnice, pak je řešením této homogenní rovnice také funkce, která je lineární kombinací těchto funkcí, tzn.

y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x)

kde $c 1, c 2,..., c n$ jsou konstanty.

Obdobné tvrzení lze (s drobnou úpravou) aplikovat také na nehomogenní rovnice. Pokud je $y 1 (x)$ řešením rovnice

$y_1^{(n)}+a_{n-1}(x)y_1^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y_1^{(n-2)}+...+a_1(x)y_1^\prime+a_0(x)y_1=b_1(x)$

a $y 2 (x)$ řešením rovnice

$y_2^{(n)}+a_{n-1}(x)y_2^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y_2^{(n-2)}+...+a_1(x)y_2^\prime+a_0(x)y_2=b_2(x)$

pak funkce $y (x) = y 1 (x) + y 2 (x)$ je řešením rovnice

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_1(x)y^\prime+a_0(x)y=b_1(x)+b_2(x)$

Toto tvrzení bývá také označováno jako princip superpozice. Princip superpozice splňují pouze lineární rovnice. Pokud tedy některá fyzikální zákonitost splňuje princip superpozice, pak jejímu popisu můžeme použít lineární rovnice. Tato skutečnost je ve fyzice často využívána.

Každá homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu má tzv. triviální řešení $y = 0$ .

Po funkcích $y i$ na pravé straně lineární kombinace $y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x)$ požadujeme, aby byly lineárně nezávislé, tzn. $c 1 y 1 + c 2 y 2 + ... + c n y n = 0$ pouze tehdy, pokud $c i = 0$ pro všechna $c i$ . Systém vzájemně nezávislých řešení $y i$ označujeme jako fundamentální systém (fundamentální řešení). Obecné řešení je pak vyjádřeno lineární kombinací fundamentálních řešení, tzn.

y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x)

Jsou-li $y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)$ řešením homogenní lineární diferenciální rovnice a koeficienty $a 0 (x), a 1 (x),..., a n - 1 (x)$ jsou spojité na intervalu $\mathbf{I}$ , na kterém hledáme řešení této rovnice, pak je Wronskián na celém intervalu $\mathbf{I}$ různý od nuly pro všechna $x\in\mathbf{I}$ .

[editovat] Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice $n$ -tého řádu s konstantními koeficienty, tedy rovnice

$y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+ a_{n-2}y^{(n-2)}+ ... +a_1 y^\prime + a_0 y = 0$ ,

kde $a i$ jsou konstanty, lze hledat ve tvaru

y = e λ x

Pro $i$ -tou derivaci dostaneme $y (i) = λ i e λ x$ . Po dosazení do dostaneme

$\left(\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+...+a_1\lambda+a_0\right)\mathrm{e}^{\lambda x} = 0$

Vzhledem k tomu, že $e λ x$ přestavuje hledané (netriviální) řešení, musí platit

λ n + a n - 1 λ n - 1 + a n - 2 λ n - 2 + ... + a 1 λ + a 0 = 0

Tuto (algebraickou) rovnici označujeme jako charakteristickou rovnici.

Řešením charakteristické rovnice získáme kořeny $λ 1,λ 2,...,λ n$ , z nichž získáme fundamentální systém řešení tak, že

každému $k$ -násobnému reálnému kořenu $λ$ charakteristické rovnice přísluší právě $k$ řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, přičemž tato řešení lze zapsat ve tvaru

y 1 = e λ x

y 2 = x e λ x

y 3 = x 2 e λ x

...

y k = x k - 1 e λ x

ke každému $m$ -násobnému komplexnímu kořenu $λ = a + i b$ je řešením charakteristické rovnice také $m$ -násobný komplexně sdružený kořen $a - i b$ . Ke každé dvojici $m$ -násobně komplexně sdružených kořenů $a\pm\mathrm{i}b$ tedy přísluší $2 m$ řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Tato řešení mají tvar

$\begin{matrix}\mbox{ pro }a+\mathrm{i}b & \mbox{ pro }a-\mathrm{i}b \\ y_1 = \mathrm{e}^{ax}\cos{bx} & y_{m+1} = \mathrm{e}^{ax}\sin{bx} \\ y_2 = x\mathrm{e}^{ax}\cos{bx} & y_{m+2} = x\mathrm{e}^{ax}\sin{bx} \\ y_3 = x^2 \mathrm{e}^{ax}\cos{bx} & y_{m+3} = x^2 \mathrm{e}^{ax}\sin{bx} \\ \vdots & \vdots \\ y_{m-1} = x^{m-2}\mathrm{e}^{ax}\cos{bx} & y_{2m-1} = x^{m-2}\mathrm{e}^{ax}\sin{bx} \\ y_m = x^{m-1}\mathrm{e}^{ax}\cos{bx} & y_{2m} = x^{m-1}\mathrm{e}^{ax}\sin{bx} \end{matrix}$

Některé diferenciální rovnice, např. Eulerovu rovnici, lze vhodnými úpravami převést na homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.

[editovat] Nehomogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu, tzn, rovnice

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_1(x)y^\prime+a_0(x)y = b(x)$

lze obecně vyjádřit ve tvaru

y = y h + y p

kde $y h$ je obecné řešení homogenní rovnice příslušející k dané rovnici (tedy rovnice, v níž položíme $b (x) = 0$ ) a $y p$ je libovolné partikulární řešení nehomogenní rovnice. Obecné řešení homogenní rovnice lze vyjádřit ve tvaru $y h (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x)$ , proto bývá obecné řešení $y$ také zapisováno jako

y = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2 + ... + c n y n

kde $c 1, c 2,..., c n$ jsou konstanty a $y 1, y 2,..., y n$ je fundamentální systém homogenní rovnice příslušející k dané nehomogenní rovnici.

Pokud tedy známe nějaké partikulární řešení nehomogenní rovnice, pak můžeme určit obecné řešení. V nejjednodušších případech lze partikulární řešení odhadnout. Ve složitějších případech však použijeme jiných metod.

[editovat] Metoda variace konstat

Jednou z metod nalezení obecného řešení nehomogenní diferenciální rovnice je metoda variace konstant neboli Lagrangeova metoda, při níž vyjdeme z obecného řešení homogenní rovnice, která přísluší ke zkoumané rovnici. Partikulární řešení pak hledáme ve tvaru

y p = c 1 (x) y 1 (x) + c 2 (x) y 2 (x) + ... + c n (x) y n (x)

Platí přitom, že takto určená funkce $y p$ vyhovuje dané nehomogenní lineární diferenciální rovnici, pokud funkce $c 1 (x), c 2 (x),..., c n (x)$ vyhovují soustavě rovnic

$c_1^\prime y_1 + c_2^\prime y_2 + ... + c_n^\prime y_n = 0$

$c_1^\prime y_1^\prime + c_2^\prime y_2^\prime + ... + c_n^\prime y_n^\prime = 0$

$c_1^\prime y_1^{\prime\prime} + c_2^\prime y_2^{\prime\prime} + ... + c_n^\prime y_n^{\prime\prime} = 0$

...

$c_1^\prime y_1^{(n-2)} + c_2^\prime y_2^{(n-2)} + ... + c_n^\prime y_n^{(n-2)} = 0$

$c_1^\prime y_1^{(n-1)} + c_2^\prime y_2^{(n-1)} + ... + c_n^\prime y_n^{(n-1)} = b(x)$

Z této soustavy určíme $c_1^\prime(x), c_2^\prime(x), ..., c_n^\prime(x)$ , odkud pak integrací získáme $c 1 (x), c 2 (x),..., c n (x)$ . Dosazením do vtahu pro $y p$ získáme partikulární řešení, jehož použitím dostaneme obecné řešení dané rovnice.

[editovat] Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty lze zapsat jako

$y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + ... + a_2 y^{\prime\prime} + a_1 y^\prime + a_0 y = b(x)$ ,

kde $a 0, a 1,..., a n - 1$ jsou konstanty.

Obecné řešení této rovnice lze zapsat jako součet obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení, tzn.

y = y h + y p

[editovat] Metoda speciální pravé strany

K nalezení partikulárního řešení $y p$ můžeme použít metodu variace konstant. Ta se používá především pro diferenciální rovnice nižších řádů.

Jinou metodou k nalezení partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je tzv. metoda speciální pravé strany.

Tato metoda umožňuje odhadnout partikulární řešení $y p$ na základě tvaru pravé strany diferenciální rovnice, tzn. na základě $b (x)$ .

Předpokládejme, že pravá strana diferenciální rovnice má tvar

$b(x) = \mathrm{e}^{\alpha x}\left[P(x)\cos{\beta x} + Q(x)\sin{\beta x}\right]$ ,

kde $P (x)$ je polynom $p$ -tého stupně a $Q (x)$ je polynom $q$ -tého stupně.

Pokud $\alpha\pm\mathrm{i}\beta$ není kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení hledáme ve tvaru

$y_p = \mathrm{e}^{\alpha x}\left[R(x)\cos{\beta x} + S(x)\sin{\beta x}\right]$ ,

kde $R (x), S (x)$ jsou polynomy stupně $s = max{p, q}$ .

Pokud je $\alpha\pm\mathrm{i}\beta$ $k$ -násobným kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení hledáme ve tvaru

$y_p = x^k \mathrm{e}^{\alpha x}\left[R(x)\cos{\beta x} + S(x)\sin{\beta x}\right]$ ,

kde $R (x), S (x)$ jsou opět polynomy stupně $s = max{p, q}$ .

Speciálními případy jsou $β = 0$ , kdy $b (x) = e α x P (x)$ a stupeň polynomu $R (x)$ je shodný se stupněm polynomu $P (x)$ , nebo $α = 0,β = 0$ , kdy $b (x) = P (x)$ .

Metodu speciální pravé strany lze použít i v případě, že pravou stranu lze vyjádřit jakou součet výrazů $\mathrm{e}^{\alpha x}\left[P(x)\cos{\beta x} + Q(x)\sin{\beta x}\right]$ , např. $b 1 (x) + b 2 (x) = P (x)cosβ 1 x + Q (x)cosβ 2 x$ . V takovém případě najdeme partikulární řešení $y p 1$ pro pravou stranu $b 1 (x)$ a poté partikulární řešení $y p 2$ pro pravou stranu $b 2 (x)$ . Partikulární řešení $y p$ pro pravou stranu $b (x) = b 1 (x) + b 2 (x)$ pak získáme součtem partikulárních řešení $y p 1$ a $y p 2$ , tzn. $y p = y p 1 + y p 2$ .

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../o/b/y/Oby%C4%8Dejn%C3%A9_diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice.html“

Kategorie: Diferenciální počet | Rovnice