Zákon velkých čísel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zákon velkých čísel vyjadřuje představu, že při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti.

[editovat] Bernoulliova věta

Je-li náhodnou veličinou $X$ počet nastoupení náhodného jevu $A$ v $n$ nezávislých opakováních pokusu a pravděpodobnost $p$ , že tento jev nastane v jednom pokusu je stálá, pak pro náhodnou veličinu $X n$ platí

$\lim_{n\to\infty} P(|X_n-p|<\varepsilon)=1$

pro libovolné $\varepsilon>0$ .

S rostoucím počtem pokusů $n$ tedy veličina $\frac{X}{n}$ pravděpodobnostně konverguje k $p$ .

Náhodnou veličinu $X n$ je však možné považovat za aritmetický průměr $n$ vzájemně nezávislých náhodných veličin $X i$ s alternativním rozdělením se stejnou střední hodnotou $\operatorname{E}(X_i)=p$ . Tedy také veličina $\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}$ konverguje pravděpodobnostně k $p$ .

[editovat] Zobecnění

Zákon velkých čísel lze obecněji vyjádřit pro posloupnost podvojně nezávislých náhodných veličin $X 1, X 2,...$ , které mohou mít různá rozdělení pravděpodobnosti, ale existuje pro ně konečná limita $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \operatorname{E}(X_i)$ , kde $\operatorname{E}(X_i)$ jsou střední hodnoty veličin $X i$ . Jestliže pro rozptyly všech veličin $X i$ platí $D(X_i)\leq c$ , tzn. rozptyly jsou shora omezeny hodnotou $c$ , pak pro libovolné $\varepsilon>0$ platí

$\lim_{n\to\infty} P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \operatorname{E}(X_i)\right|<\varepsilon\right) = 1$

Při velkém počtu nezávislých pokusů je tedy možné téměř jistě očekávat, že aritmetický průměr výsledků jednotlivých pokusů se bude libovolně málo lišit od průměru středních hodnot.