Äquivalenzumformung

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In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lat. aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für die selbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage. Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder ohne Probleme rückgängig gemacht werden. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.

Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

$x+5=7\!$

von beiden Seiten 5, so erhält man die äquivalente Gleichung

$x=2\!$ .

Umgekehrt erhält man durch Anwendung der inversen Operation, also Addition von 5 auf beiden Seiten, wieder die ursprüngliche Gleichung.

Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung. Bei Ungleichungen ist zu beachten, dass bei Multiplikation mit bzw. Division durch eine negative Zahl die Ordnungsrelation die Richtung ändert. Multipliziert man beispielsweise die Ungleichung

$x>y\!$

mit -5, so erhält man die äquivalente Ungleichung

$-5x < -5y \!$ .

Division durch -5 liefert wieder die ursprüngliche Ungleichung.

Zu beachten ist, dass die Multiplikation mit Null oder Division durch Null oft versteckt auftritt; so ist beispielsweise die Multiplikation mit $x - 1$ nur für $x\ne 1$ eine Äquivalenzumformung.

Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Äquivalenzpfeil ( $\Leftrightarrow$ ) bezeichnet. Angewendet auf obiges Beispiel also:

$x+5=7 \Leftrightarrow x=2\!$

Keine Äquivalenzumformung ist das Quadrieren, so hat beispielsweise die Gleichung $x = 2$ eine reelle Lösung, die quadrierte Gleichung $x 2 = 4$ hingegen zwei reelle Lösungen (nämlich +2 und -2).

Darstellung der Umformungsoperation: Insbesondere in der Schulmathematik wird bei Äquivalenzumformungen oft mit einem senkrechten Strich hinter der (Un-)Gleichung dargestellt, welche Operation als nächste auf beide Seiten der (Un-)Gleichung angewendet werden soll. Die obigen Beispiele schreiben sich dann in der Form

$x+5=7\;\;\;\;\;\;\;\;|-5$