Division (Mathematik)

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Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Bleistift und Papier, die man in der Schule lernt.

[Bearbeiten] Division in der Mathmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:

Für jede Zahl a und für jede von null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die folgende Gleichung erfüllt:

b · x = a (lies: b mal x gleich a)

Die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"):

x = a : b (lies: x gleich a geteilt durch b)

Die auftretenden Terme heißen wie folgt:

Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend.

Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor.

Der Term a:b heißt Quotient.

Das Ergebnis der Division heißt Wert des Quotienten.

Merkhilfe:

Quotient = Dividend : Divisor

Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a : b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a : 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null.

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt:

Hier ist die Division im Allgemeinen nicht vollständig durchführbar, das heißt, wenn der Dividend kein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist, bleibt ein Rest übrig. Für die ganzzahlige Division siehe Division mit Rest.

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz.

Siehe auch: Kehrwert

[Bearbeiten] Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen):

a : b

a ÷ b

a / b

$\frac{a}{b}$

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz (echter) Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Im Alltag schreibt man auch unechte Brüche, also das Infimum als ganze Zahl und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1½ statt 3/2.

[Bearbeiten] Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert:

Gäbe es zu einer gegebenen Zahl $a \ne 0$ eine Zahl $x = \frac{a}{0}$ , so wäre diese Zahl Lösung der Gleichung $a = x \cdot 0 = 0$ , womit wir einen Widerspruch zur Voraussetzung $a \ne 0$ erhalten.

Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl $x = \frac{0}{0}$ , so wäre diese Zahl (eindeutige) Lösung der Gleichung $x \cdot 0 = 0$ , also zu einer Gleichung, die für jedes $x\in\R$ richtig ist. Damit ist aber der Bruch $\frac{0}{0}$ nicht eindeutig definiert.

In der Analysis von Funktionen hat man sich in diesem Punkt dadurch beholfen, dass man einen Grenzwert (also keine "Lösung") wie folgt definiert:

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty$ .

Bei Annäherung aus dem positiven Zahlenbereich ist es $\infty$ , bzw. $-\infty$ bei Annäherung aus dem negativen Bereich.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.