aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis 1 Kein Sinn 2 X 3 Konstruktivismus 4 Auswahlfunktion = Endomorphismus ? 5 Relevante Fälle? Sehr verwirrend... 6 Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

[Bearbeiten] Kein Sinn

Hallo Mellum. Bin bloß Physiker und kein Mathematiker, aber der jetzige Zustand der Beziehungen

so dass

gibt für mich keinen Sinn. Kann das mal jemand checken?? Was soll denn oder bedeuten?? Die alte Formulierung galube ich noch verstanden zu haben. -- Wolfgangbeyer 22:40, 16. Mär 2004 (CET)

A ist eine Menge. In der Mengenlehre ist das einzige, was eine Menge enthalten kann, andere Mengen. ist die Vereinigung aller Mengen, die A enthält. bedeutet, dass F aus jeder Menge x in A ein Element auswählt. Vielleicht sieht x nicht mengenhaftig genug aus? Oder wo ist das Problem? -- Mellum 22:56, 16. Mär 2004 (CET)

Hab's nochmal überarbeitet, so besser? -- Mellum 23:09, 16. Mär 2004 (CET)

[Bearbeiten] X

Der Artikel erklärt nicht, wofür X steht.
Ciciban 10:13, 24. Nov 2004 (CET)

Doch, tut er: für ein Element der Menge A. -- Mellum 11:32, 24. Nov 2004 (CET)

[Bearbeiten] Konstruktivismus

Ich glaube nicht, dass die Behauptung, der Konstruktivismus lehne das Auswahlaxiom ab, richtig oder jedenfalls treffend ist. Im Gegenteil glaube ich, dass das Auswahlaxiom aus konstruktivistischer Sicht eine Trivialität ist. (Ich bin selbst kein Konstruktivist, versuche aber einmal, mich in einen solchen hineinzudenken.)

Gegeben ist also A, eine Menge von nichtleeren Mengen, und gesucht ist eine Auswahlfunktion. Was heißt es aber, dass alle Mengen in A nicht leer sind? . Aber was heißt denn der Existenzquantor ? Für den klassischen Mathematiker bedeutet irgendeine nebulose "irgendwo-da-draußen"-Existenz, aber für den Konstruktivisten muss dieses y auch (in Abhängigkeit von x natürlich) auf den Tisch gelegt werden. Das heißt nun, dass es eine Konstruktion von y aus x gibt, also auch eine Auswahlfunktion.

Aber ich warte lieber einmal auf die Bestätigung eines Berufeneren, bevor ich im Artikel etwas ausbessere... --Wuzel 17:06, 7. Sep 2005 (CEST)

Ich korrigiere mich. Wie ich auf en:Axiom of Choice bzw ursprünglich unter [1] sehe, impliziert das Auswahlaxiom zumindest im Intuitionismus das Tertium non datur, daher ist AC intuitionistisch nicht beweisbar:

Sei nämlich P eine beliebige Aussage, und betrachten wir die Menge

• M= {A, B}, wobei
• A = { x in {0,1}: x=0 oder P}
• B = { x in {0,1}: x=1 oder P}.

(Aus klassischer Sicht ist also M={ {0,1} } wenn P gilt, und M={ {0},{1} } wenn P nicht gilt.)

Sowohl A wie auch B sind nicht leer, also gibt es nach AC eine Auswahlfunktion f. Wegen "f(A) in A" muss

• f(A)=0 oder P

gelten, ebenso f(B)=1 oder P. Daraus kann man (auch intuitionistisch)

• [ f(A)=0 und f(B)=1 ] oder P

schließen, somit auch

• [f(A) ≠ f(B) ] oder P.

Aus P folgt aber A={0,1} =B, also f(A)=f(B). Also

• Wenn P, dann f(A)=f(B).

daher

• Wenn [f(A) ≠ f(B) ], dann "non-P".

Also gilt: "non-P" oder P.

Wuzel 12:56, 26. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Auswahlfunktion = Endomorphismus ?

Ist die Auswahlfunktion ein Endomorphismus, der von X nach X abbildet ? Wenn ja, was ist dann das Besondere an ihr ? -- Amtiss, SNAFU ? 15:45, 23. Jan 2006 (CET)

F(X) ordnet nicht Elementen aus X Elemente aus X zu sondern der ganzen Menge X ein Element aus X. --Wolfgangbeyer 22:23, 23. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Relevante Fälle? Sehr verwirrend...

Die Aufzählung für das Auswahlaxiom relevanter Fälle ist ziemlich schwach, denn: Die ersten beiden Beispiele sind ja grade nicht relevant (wegen endlich bzw. abzählbar), das dritte hingegen schon, und grade beim dritten wird der Eindruck erweckt, das Auswahlaxiom sei nicht relevant. Die gewählten Beispiele könnten kaum verwirrender sein. PS: Man kann Elemente eben nicht einfach wählen (nach dem Motto: "Da nehm ich einfach immer den Mittelpunkt des Intervalls..."), gerade darum gehts ja im Auswahlaxiom. Letztendlich fusst alles auf den (z.B. Zermelo-Fraenkel-) Axiomen, der Rest der Mathematik ist formales Symbolgeschiebe, deshalb muss man mit Interpretationen nach dem Motto "da wähl ich einfach ..." äusserst vorsichtig sein.--128.101.154.21 22:59, 6. Mär 2006 (CET)

[Bearbeiten] Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

so aus der versions geschichte:

1. Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist.

das kann nicht stimmen, weil man für C eine einelementige Teilmenge nehmen kann, und dafür braucht man bestimmt kein Auswahlaxiom

würde mal behaupten genau für die auswahl eines elements (oder einer ein elementigen teilmenge) aus einer unendlichen menge braucht man das auswahlaxiom lg Wdvorak 18:00, 8. Dez. 2006 (CET)

Nein so ist das nicht. Bitte die Formulierung im Artikel einmal genau anschauen. Gruß, Wasseralm 20:52, 8. Dez. 2006 (CET)

hallo nochmal - mag mit der formulierung im artikel nicht sofot klar sein gibt aber die äquivalente Formulierung des AC

(http://info.tuwien.ac.at/goldstern/ml1/ml1.pdf Seite 15)

Was ja nichts anderes ist als die Auswahl eines Elements

AC => Satz müsste nach deiner Argumentation mit der ein elementigen Menge stimmen

Satz => AC (in dieser formulierung) würde ich über eine konstante Funktion f: A -> {x} argumentieren bildet man hier die "injektive" Teilmenge von A so hat man ein Element ausgewählt

vermutlich sollte man aber verlangen lg Wdvorak 15:10, 9. Dez. 2006 (CET)

Ja, aber es geht beim Auswahlaxiom nicht darum, aus A ein Element "auszuwählen", sondern die Existenz einer Funktion zu beweisen, die aus jeder (nichtleeren) Teilmenge von A ein Element auswählt, und das geht mit dieser Argumentation nicht.

Ich weiß nicht, ob du ursprünglich diesen Punkt in den Artikel eingetragen hast, aber vielleicht liegt nur eine Missformulierung vor. Gibt es denn eine Quelle für diese Aussage? Gruß, Wasseralm 19:43, 9. Dez. 2006 (CET)

der satz ist nicht von mir deshalb hab ich leider auch keine quellen (was ja die sache erheblich vereinfachen würde) - bin nur der überzeugung dass er stimmt - werde das aber mal mit ein paar Kollegen diskutieren und mich dann wieder melden lg Wdvorak 19:04, 11. Dez. 2006 (CET)

Noch eine Anmerkung: Es gibt sehr viele, vielleicht hunderte, von Aussagen, die zu AC äquivalent sind. Der Artikel kann nur die mathematisch bedeutsamsten und prägnantesten aufführen. Gruß, Wasseralm 21:35, 11. Dez. 2006 (CET)

Der Satz

• Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist.

ist tatsächlich nicht äquivalent zum Auswahlaxiom, wie schon erwähnt wurde. Gemeint war wohl die folgende Aussage:

• (1) Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist, und f|C den selben Wertebereich hat wie f.

oder, wenn man statt B gleich die Wertemenge nimmt:

• (2) Zu jeder surjektiven Abbildung f einer Menge A auf B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C bijektiv von C auf B ist.

Die Umkehrung dieser Abbildung f|C ist nämlich genau eine in der Formulierung

• (3) Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses

geforderte Rechtsinverse. Mir scheint es nicht notwendig, sowohl (2) als auch (3) zu erwähnen. --Wuzel 11:13, 12. Dez. 2006 (CET)

Aha, endlich kommt Klarheit in die Sache. Ich finde auch, (3) ist die griffigere Formulierung und reicht auch im Artikel. Gruß, Wasseralm 12:16, 12. Dez. 2006 (CET)