Auswahlaxiom

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Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Es lautet:

Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Funktion F mit Definitionsbereich A, genannt Auswahlfunktion, so dass gilt:

.

F wählt also aus jeder Menge X in A genau ein Element aus.

Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen, unter anderem das Lemma von Zorn und den Wohlordnungssatz. Die Namen "Lemma" und "Satz" rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig sind wie das Auswahlaxiom selbst.

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht möglich, für eine allgemeine Menge von Teilmengen von eine Auswahlfunktion explizit anzugeben.

Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

• Für eine endliche Menge von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos (d. h. man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht) möglich ist. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
• Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt.
• Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
• Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie anzugeben.

Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation (also das "Gegenteil") des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel.

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie z.B. der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken. Letztlich steht in der Mathematik nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist.

[Bearbeiten] Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz (Zermelo führte das Auswahlaxiom ein um den Beweis des Wohlordnungssatz zu formalisieren).

• Mengenlehre
  • Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
  • Wenn A eine unendliche Menge ist, dann haben A und A×A die gleiche Kardinalität.
  • Trichotomie: Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalität als die andere.
  • Das Kartesische Produkt einer nichtleeren Familie von nichtleeren Mengen ist nicht leer.
  • Satz von König: Vereinfacht: Die Summe einer Folge von Kardinalzahlen ist echt kleiner als das Produkt einer Folge von größeren Kardinalzahlen.
  • Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses.
  • Lemma von Teichmüller-Tukey: Sei M eine nichtleere Menge von endlichen Charakter, so gibt es bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element

• Ordnungstheorie
  • Lemma von Zorn: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz: In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz (abgeschwächt): In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette.
• Algebra
  • Jeder Vektorraum hat eine Basis
  • Jeder Ring mit Einselement hat ein maximales Ideal.

• Topologie
  • Satz von Tychonoff Das Produkt kompakter Räume ist selbst kompakt.
  • In der Produkt Topologie: Der Abschluss eines Produktes von Teilmengen ist gleich dem Produkt der Abschlüsse der Teilmengen.
  • Das Produkt von vollständigen uniformen Räumen ist vollständig.