Differenzierbarkeit

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(Nicht-)Differenzierbarkeit graphisch

Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.

Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differenzialrechnung, die ihrerseits ein mathematisches Teilgebiet der Analysis darstellt.

[Bearbeiten] Definitionen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion aus den reellen Zahlen in sich selbst. ( $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ )

1. Definition: Eine Funktion $f$ ist differenzierbar an einer Stelle $x 0$ ihres Definitionsbereichs genau dann, wenn eine reelle Zahl $a$ und eine Funktion $g$ (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass:

$f(x_0 + h) = f(x_0) + a \cdot h + g(h)$

und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich $g(h)/h \to 0$ für $h \to 0$ ) Den Wert $a$ bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x 0$ .

2. Definition: Eine Funktion $f$ ist differenzierbar an einer Stelle $x 0$ ihres Definitionsbereichs genau dann, wenn der Grenzwert

$\lim_{x \rightarrow x_0} \left( \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \right)$ existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x 0$ .

Beide Definitionen sind äquivalent.

Wenn eine Funktion $f$ an einer Stelle $x 0$ differenzierbar ist, schreibt man für die Ableitung $f'(x 0)$ oder auch $\left. \frac {\mathrm{d} f} {\mathrm{d}x} \right|_{x_0}$ .

Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Grafisch lässt sich dies so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von $f$ genau eine Tangente existiert.

[Bearbeiten] Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht, wie das Beispiel $f: x \mapsto |x|$ zeigt.

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen Funktion

Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die Ableitung selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die unendlich oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.

Beispiel: Ist $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\, \sin\left(\frac1{x}\right) & \mathrm{f\ddot{u}r} & x\neq 0 \\ 0& \mathrm{f\ddot{u}r} & x=0\end{matrix}\right.$ dann ist wegen $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=x\,\sin\left(\frac1{x}\right)\to 0$ für $x\to 0$

die Ableitung $f'(0)=0\,$ . Und $\forall x\neq 0$ ist $f'(x)=2x\,\sin\left(\frac1{x}\right)-\,\cos\left(\frac1{x}\right)$ , wobei $\lim_{x\to 0} f'(x)$ nicht existiert. Die Funktion $f$ ist daher differenzierbar, jedoch nicht stetig differenzierbar.

Eine Trajektorie eines Wiener-Prozesses ist als Funktion $X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, t\mapsto X_t(\omega)$ stetig – aber fast sicher nirgends differenzierbar.

Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion $f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2^kx)}{1{,}5^k}$ ist ebenfalls überall stetig, aber sogar nirgends differenzierbar.

[Bearbeiten] Begriffserweiterungen

Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf

mehrdimensionale Räume, in welchen partielle und totale Differenzierbarkeit unterschieden werden müssen.
komplexe Räume, bei denen die reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt werden; hier liefert Differenzierbarkeit eine wesentlich stärkere Einschränkung einer Funktion
gekrümmte Räume bzw. differenzierbare Mannigfaltigkeiten und komplexe Mannigfaltigkeiten.

Von „http://de.wikipedia.org../../../d/i/f/Differenzierbarkeit.html“

Kategorie: Analysis

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