Euler-Maruyama-Verfahren

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Das Euler-Maruyama-Verfahren, oft auch Euler-Maruyama-Schema oder stochastisches Euler-Schema genannt, ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Es wurde erstmals in den 1950er-Jahren durch den japanischen Mathematiker Gisiro Maruyama untersucht und basiert auf dem von Leonard Euler stammenden expliziten Euler-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher (deterministischer) Differentialgleichungen.

Während das explizite Euler-Verfahren seit seiner Erfindung stetig verbessert und weiterentwickelt wurde (implizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren) und selbst dadurch an praktischer Bedeutung verloren hat, ist Euler-Maruyama mangels entsprechender Alternativen noch immer das in der Praxis dominierende Verfahren.

[Bearbeiten] Formulierung

Gegeben sei ein Wiener-Prozess $(W_t),\;t \ge 0$ sowie dazu folgendes stochastisches Anfangswertproblem (S-AWP):

$dS_t = a(t,S_t)dt + b(t,S_t)dW_t, \;\;S_0=A$ .

Die Idee von Maruyama besteht nun darin, nicht nur (wie bei Euler) die Zeitachse in ein Gitter $\{ i\Delta t, \; i \in \N_0\}$ zu unterteilen, sondern diese Unterteilung auch in der Wahrscheinlichkeitsachse vorzunehmen: dazu definiert man

$\Delta W_i :=W_{i \Delta t}-W_{(i-1)\Delta t}, \; i \in \N$ .

Auf diesem Gitter berechnet sich die Approximation $\hat{S}$ von S folgendermaßen:

$\hat{S}_0=A, \;\;\hat{S}_{i \Delta t} = a((i-1)\Delta t,\hat{S}_{(i-1)\Delta t}) \Delta t + b((i-1)\Delta t,\hat{S}_{(i-1)\Delta t}) \Delta W_i$ .

[Bearbeiten] Konvergenz des Verfahrens

Das wichtigste theoretische Resultat bezüglich des Maruyama-Schemas beschreibt dessen starke Konvergenz (oder stochastische Konvergenz) gegen die gesuchte Lösung S: eine Folge von stochastischen Prozessen $(S_t^{(i)}),\;0 \le t \le T, \;i \in \N$ auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum konvergiert definitionsgemäß stark mit Ordnung q gegen einen Prozess $(S_t), \;0 \le t \le T$ , wenn für eine Konstante c gilt:

$E(|S_t^{(i)}-S_t|) \le c n^{-q} \;\;\forall t \in [0,T]$ .

Im Falle des Maruyama-Schemas kann nun gezeigt werden: die Diskretisierung $(\hat{S}_t)$ konvergiert für $\Delta t = \frac{1}{n} \to 0$ stark mit Ordnung $\frac{1}{2}$ gegen die Lösung S des S-AWP, wenn für alle reellen Zahlen x und alle positiven s,t die Folgende Schranke gilt:

$|a(s,x)-a(t,x)| + |b(s,x)-b(t,x)| \le K(1+|x|)\sqrt{(|t-s|)}$ .

Von schwacher oder Verteilungskonvergenz mit Ordnung q spricht man hingegen, wenn für eine Konstante c gilt:

$|E(f(S_t^{(i)}))-E(f(S_t))| \le c n^{-q} \;\;\forall t \in [0,T]$

für alle Funktionen f, die mindestens 2q+2-mal stetig differenzierbar sind und deren sämtliche Ableitungen durch Polynome beschränkt sind. Dies ist bei Maruyama dann der Fall, wenn die Funktionen a und b diese Bedingung ebenfalls erfüllen. Für hinreichend glatte Funktionen a und b kann das Euler-Maruyama also beliebig hohe schwache Konvergenzordnung erreichen, jedoch ist dabei nichts über die Konstanten c ausgesagt (diese können analog zur Konvergenzordnung gegen Unendlich gehen.)

[Bearbeiten] Bemerkungen

Es gibt auch Lösungsverfahren höherer starker Ordnung als das Euler-Maruyama-Verfahren, etwa das Milstein-Verfahren, das meist Ordnung 1 erreicht. Diese Verfahren sind aber numerisch aufwändiger und resultieren nicht immer in einer schnelleren Konvergenz.

Die oben angeführte Bedingung für die starke Konvergenz mit Ordnung 0.5 ist nur wenig strenger als die Bedingung an a und b, die die Existenz der Lösung S sicherstellt. Sie ist also beinahe immer erfüllt.

An starker Konvergenz ist man in der Praxis nur sehr selten interessiert, da zumeist nicht eine spezielle Lösung zu einem speziellen Wiener-Prozess gesucht wird, sondern Vielmehr eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses.

Ein Implizites Maruyama-Schema als Analogon zum impliziten Euler-Verfahren ist nicht möglich; dies liegt an der Definition des (stochastischen) Ito-Integrals, über das stochastische Differentialgleichungen definiert sind und das Funktionen immer am Anfang eines Intervalls auswertet (siehe dort). Implizite Verfahren konvergieren also hier gegen teilweise völlig falsche Ergebnisse.

Die übliche Simulation einer Brownschen Bewegung durch einen Gaußschen Random Walk kann als Anwendung des Euler-Maruyama-Schemas auf die triviale Differentialgleichung $dS_t =1 dW_t, \;\;S_0=0$ interpretiert werden.