Stochastische Integration

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Die Theorie der stochastischen Integration befasst sich mit Integralen und Differentialgleichungen in der Stochastik. Sie verallgemeinert die Integralbegriffe von Henri Léon Lebesgue und Thomas Jean Stieltjes auf eine breitere Menge von Integratoren, da er stochastische Prozesse mit unendlicher Variation, insbesondere den Wiener-Prozess, als Integratoren zulässt. Die Theorie der stochastischen Integration stellt dabei die Grundlage der stochastischen Analysis dar, deren Anwendungen sich zumeist mit der Untersuchung stochastischer Differentialgleichungen beschäftigen.

Inhaltsverzeichnis

1 Integralbegriffe nach Itō und Stratonovich
2 Ein Beispiel
3 Martingaleigenschaft
4 Anwendung
5 Literatur

[Bearbeiten] Integralbegriffe nach Itō und Stratonovich

Seien $(X_t),(Y_t),t\in [a,b]$ zwei (nicht notwendigerweise unabhängige) reellwertige stochastische Prozesse auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ . Als Itō-Integral (nach Itō Kiyoshi) von X nach Y über dem Intervall [a,b] bezeichnet man die Zufallsvariable

$I:=\int_a^b X_t dY_t:=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_{(i-1)h} (Y_{ih}-Y_{(i-1)h}), h=\frac{b-a}{n}$ .

Das zugehörige Stratonovich-Integral (nach Ruslan Leont'evich Stratonovich) berechnet sich als

$S:=\int_a^b X_t\circ dY_t:=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_{(i-0.5)h} (Y_{ih}-Y_{(i-1)h})$ .

Beim Itō-Integral wird der Integrand X also stets am Anfang des h-Intervalls ausgewertet, bei Stratonovich in der Mitte. Bei gewöhnlichen (Riemann- oder Lebesgue-) Integralen von deterministischen (nicht zufälligen) und hinreichend glatten (beispielsweise stetigen) Funktionen hat dies keinen Einfluss auf das Ergebnis, doch im stochastischen Fall gilt: sind X und Y nicht unabhängig, so kann das tatsächlich zu verschiedenen Werten führen (siehe Beispiel unten)

Eine Brownsche Bewegung und das Integral B_sdB_s

[Bearbeiten] Ein Beispiel

Sei $(W t), t > 0$ eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Zu berechnen ist das Itō-Integral $\int_0^T W_t dW_t$ . Schreibt man der Kürze halber $B i : = W i T / n,Δ B i : = B i + 1 - B i$ und benutzt man die Identität $B_{i+1}^2 -B_i^2=(B_{i+1}-B_i)^2 + 2 B_i (B_{i+1}-B_i)$ , so erhält man aus obiger Integrationsvorschrift

$I=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} B_i (B_{i+1}-B_i) = \lim \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (B_{i+1}-B_i)^2 =\frac{1}{2} \lim \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac{1}{2} \lim \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta B_i)^2$

$=\frac{1}{2} \lim (B_n^2-B_0^2) -\frac{T}{2} \lim \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} (\frac{n}{T} \Delta B_i)^2$

Benutzt man nun, dass $B 0 = W 0 = 0, B n = W T$ sowie $\frac{n}{T} \Delta B_i \sim \Chi_1^2 i.i.d.$ (letzteres wegen der unabhängigen, normalverteilten Zuwächse der Brownschen Bewegung, so folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen für den hinteren Grenzwert

$I=\frac{1}{2}W_T^2-\frac{T}{2}$

Um das entsprechende Stratonovich-Integral zu berechnen, nutzt man die Stetigkeit der Brownschen Bewegung aus:

$S= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i+0.5}(B_{i+1}-B_i)=\lim( B_{n-0.5}B_n-B_{n-0.5}B_{n-1}+B_{n-1.5}B_{n-1}- \ldots +B_{0.5} B_1-B_{0.5} B_0$

$=\lim B_{n-0.5} B_n- [B_{n-1}(B_{n-0.5}-B_{n-1.5})+ \ldots + B_1(B_{1.5}-B_{0.5})]-B_{0.5} B_0=W_T^2-\lim\sum_{i=0.5}^{n-1.5}B_{i+0.5}(B_{i+1}-B_i)+0$

$=W_t^2-S \Rightarrow S=\frac{1}{2}W_T^2$

Itō- und Stratonovich-Integral über demselben Prozess führen also zu verschiedenen Ergebnissen, wobei das Stratonovich-Integral eher der intuitiven Ahnung aus der gewöhnlichen (deterministischen) Integralrechnung entspricht.

[Bearbeiten] Martingaleigenschaft

Der entscheidende Vorteil, der letztendlich dazu geführt hatte, dass sich das Itō-Integral weitgehend als Standard durchgesetzt hat, ist die folgende Eigenschaft: Ist der Integrator $Y$ eine Brownsche Bewegung (der bei weitem am häufigsten verwendete Integrator) oder allgemeiner ein Lévy-Prozess mit konstantem Erwartungswert, und ist $X$ eine nicht vorgreifende beschränkte Funktion von $Y$ und $t$ (d.h., für jedes $t > 0$ ist $X t$ messbar bezüglich der Sigma-Algebra $σ(Y s; s < t)$ , die von den Zufallsvariablen $Y_s,\,s<t$ erzeugt wird), so ist der Prozess $t \to \int_0^t X_s dY_s$ ein Martingal bezüglich der natürlichen Filtrierung von $Y$ . (Die Bedingung der Beschränktheit von $X$ kann abgeschwächt werden. Im Allgemeinen ist das Itō-Integral jedoch nur ein so genanntes lokales Martingal.) Diese nützliche Eigenschaft hat das Stratonovich-Integral nicht.

[Bearbeiten] Anwendung

Ausgehend vom Itōschen Integralbegriff ist es nun möglich, eine breite Klasse von stochastischen Prozessen zu definieren: Demnach wird ein Prozess $(X t), t > 0$ Itō-Prozess genannt, wenn es eine Brownsche Begegnung $(W t), t > 0$ und nicht vorgreifende Funktionen $u,v: \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gibt mit

$X_t=\int_0^t u(s,W_s)ds + \int_0^t v(s,W_s)dW_s$ .

Das Prädikat "X ist ein Itō-Prozess" wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ausgehend hiervon wurden dann von Itō selbst die ersten stochastischen Differentialgleichungen definiert.

Durch zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Modellierung, insbesondere in der Quantenphysik und der Finanzmathematik hat sich der Itō-Kalkül inzwischen zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug entwickelt.

[Bearbeiten] Literatur

J. Jacod, A. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, Berlin.
P. Protter: Stochastic integrals and differential equations. Springer, Berlin.

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/t/o/Stochastische_Integration_44bb.html“

Kategorien: Stochastische Prozesse | Differentialgleichungen