Hölder-Ungleichung

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In der mathematischen Analysis ist die Höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, eine fundamentale Ungleichung für L^p-Räume: Sei S ein Maßraum, mit , sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S). Dann ist fg aus L¹(S) und

.

Ist S die Menge {1,...,n} mit dem Zählmaß, erhält man als Spezialfall die Ungleichung

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x₁,...,x_n,y₁,...,y_n. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für p = q = 2 erhält man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Die Höldersche Ungleichung wird verwendet, um die Minkowski-Ungleichung, das ist die Dreiecksungleichung im L^p, zu beweisen und um zu beweisen, dass der L^p der duale Raum zu L^q ist.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Minkowski-Ungleichung
• Youngsche Ungleichung