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Hölder不等式 - Wikipedia

Hölder不等式

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赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto Hölder)。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設 $S$ 為測度空間， $1 \le p,q \le \infty$ ，及 ${1\over p} + {1\over q} = 1$ ，設 $f$ 在 $L p (S)$ 內， $g$ 在 $L q (S)$ 內。則 $f g$ 在 $L 1 (S)$ 內，且有

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q$ 。

若 $S$ 取作 ${1,..., n}$ 附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數） $x 1, ..., x n; y 1, ..., y n$ ，有

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$ 。

若取 $S$ 為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當 $p = q = 2$ ，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明 $L p$ 空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明 $L p$ 空間是 $L q$ 空間的對偶。

来自“http://zh.wikipedia.org../../../h/%C3%B6/l/H%C3%B6lder%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F.html”

页面分类: 不等式

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