Hamiltonsches Prinzip

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Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Grundprinzip der Physik, und kann als gleichwertig zu den Newtonschen Axiomen gesehen werden. Aus dem Hamiltonschen Prinzip lässt sich der Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik ableiten.

[Bearbeiten] Formulierung

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Extremalprinzip und stellt eine Verallgemeinerung verschiedener Beobachtungen dar. Beispielsweise folgt eine rollende Kugel immer der steilsten Neigung oder nimmt ein Lichtstrahl durch unterschiedliche Medien immer den Weg, der die geringste Laufzeit bedeutet (Fermatsches Prinzip).

Pierre Louis Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen. Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange trugen wesentlich zur mathematischen Formulierung dieser Gedanken bei (Euler-Lagrange-Gleichungen). 1823 formulierte William Rowan Hamilton dann das nach ihm benannte Prinzip.

[Bearbeiten] Formale Beschreibung

Die klassische Mechanik betrachtet Systeme, in denen eine Anzahl miteinander oder mit der Umwelt wechselwirkender Teilchen (massebehafteter Objekte) berechenbare Wege durchlaufen, und definiert zu solchen Systemen eine Lagrange-Funktion $L = L(q,\dot q,t)$ . Aus dieser ist das Wirkungsfunktional (auch Wirkungsintegral oder kurz Wirkung genannt) durch

$S[p] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t) \,dt$

gegeben, wobei $t 1$ und $t 2$ Anfangs- und Endzeit des betrachteten Zeitraumes, q die generalisierten Koordinaten sind und das p die Gesamtheit der Wege, die die Teilchen durchlaufen, bezeichnet.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, dass in der Natur nur solche Wege durchlaufen werden, für welche die erste Variation des Wirkungsfunktional Null ist:

δ S = 0

Anders ausgedrückt bedeutet diese Bedingung, dass das Wirkungsfunktional stationär ist, also Minimum, Maximum oder Sattelpunkt aufweist. Durch Methoden der Variationsrechnung kann nachgewiesen werden, dass das Hamiltonsche Prinzip äquivalent zur Gültigkeit der Lagrange-Gleichungen ist.

Konzeptionell unterscheidet sich die Formulierung der klassischen Mechanik mittels des Hamiltonschen Prinzips von der Newtonschen Formulierung. In letzterer bewirken Kräfte eine Beschleunigung der beteiligten Objekte (differentieller Ansatz), während in ersterer die Objekte dem Weg einer stationären Wirkung folgen (integraler Ansatz).

[Bearbeiten] Das Hamiltonsche Prinzip für Felder

In der Feldtheorie wird hingegen das Verhalten von Feldern untersucht, d.h. auf welche Weise sie sich verändern und mit ihrer Umgebung wechselwirken.

Setzt man in das Hamiltonsche Prinzip

$\delta \int_{t_1}^{t_2} dt \, L = 0$

die Lagrange-Dichte über

$L = \int d^3 r \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)$ , mit einem Feld $φ = φ(x, y, z, t)$

ein, so erhält man das Hamiltonsche Prinzip für Felder, mit

$\delta \int_{t_1}^{t_2} dt \int d^3 r \mathcal{L} = 0$ .

Man erkennt dass diese Formulierung insbesondere für die Relativitätstheorie interessant ist, da hier über den Ort und die Zeit integriert wird. Analog zum gewöhnlichen Hamiltonschen Prinzip lassen sich aus dieser abgewandelten Version die Lagrangegleichungen für Felder bestimmen.