Klasse (Mengenlehre)
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Mit Klasse wird heute in der Mathematik, und insbesondere in der Mengenlehre, eine Zusammenfassung von Mengen oder anderen mathematischen Objekten bezeichnet. Notwendige Bedingung zur Definition der Klasse ist eine eindeutige Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse besitzen. Vor der axiomatischen Formulierung der Mengenlehre wurden die Begriffe Klasse und Menge inkonsistent benutzt, und treten auch so in der mathematischen Literatur des 19. Jahrhunderts auf.
Jede Menge ist auch eine Klasse (oder etwas formaler: kann als Klasse aufgefasst werden, nämlich als Klasse der Elemente, die sie enthält), aber nicht alle Klassen sind Mengen. Klassen, die keine Mengen sind, heißen echte Klassen oder Unmengen.
[Bearbeiten] Beispiele für echte Klassen (Unmengen)
- Die Klasse K aller Gruppen. Man schreibt
genau dann, wenn G eine Gruppe ist. - Die Klasse K aller Ordinalzahlen
- In bestimmten Kategorien ist die Klasse der Objekte eine echte Klasse.
- Die Klasse K der surrealen Zahlen. K hat alle Eigenschaften eines Körpers, außer der Eigenschaft, eine Menge zu sein.
- Die Klasse K aller Mengen, die so genannte Allklasse
- Die Klasse aller einelementigen Mengen.
[Bearbeiten] Anmerkungen
Informell kann man sagen, dass eine Klasse echt ist, wenn sie "zu groß" ist, um eine Menge zu sein. So ist etwa die Klasse aller ganzen Zahlen eine Menge - zwar unendlich groß aber doch handhabbar; die Klasse aller Gruppen hingegen, sowie die Klasse aller Mengen, sind "zu groß" und daher echte Klassen.
Klassen unterliegen nicht den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Jedoch können auch Klassen durch die Operationen 
und 
miteinander verknüpft werden: 
, genau dann, wenn 
oder 
. Andere aus der Mengenlehre bekannte Operationen, wie zum Beispiel die Potenzmenge, dürfen nicht beliebig auf Klassen übertragen werden. Insbesondere enthält eine Klasse niemals eine echte Klasse.
Durch die Verwendung von Klassen wird eine Reihe von Paradoxien der naiven Mengenlehre vermieden. Stattdessen ist jedes ehemalige Paradoxon ein Beweis, dass eine bestimmte Klasse echt ist. Zum Beispiel ist die Russellsche Antinomie ein Beweis, dass die Allklasse eine echte Klasse ist. Das Burali-Forti-Paradoxon ist ein Beweis für die Echtheit der Klasse aller Ordinalzahlen.
Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre spricht nicht über Klassen. Diese existieren nur in einer Metasprache als Äquivalenzklassen logischer Formeln.
Eine andere Herangehensweise ist die von John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel: Klassen sind die Grundobjekte ihrer Theorie, und Mengen sind Klassen, die als Element einer anderen Klasse auftreten. Die echten Klassen sind dann die Klassen, die nicht Element einer anderen Klasse sind.
