Konvergenzbereich

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Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in den die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für Potenzreihen ist der Konvergenzbereich eine Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt, deren Radius Konvergenzradius genannt wird.

[Bearbeiten] Definition

Sei (M,d) ein metrischer Raum und (E,||.||) ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen f_n:M->E gegeben. Dann

konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_n$ in x∈M, falls die Folge der Partialsummen <S_n(x)>, $S_n(x):=\sum_{n=0}^n f_n$ , die eine Punktfolge in E ist, konvergiert.
konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_n$ absolut in x∈M, falls die Zahlenreihe $\sum_{n=0}^\infty \|f_n(x)\|$ konvergiert.

[Bearbeiten] Majorantenkriterium

Gibt es eine konvergente Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet G⊆M mit ||f_n(x)||<a_n für alle x∈G und alle n∈ℕ, so ist G eine Teilmenge des Konvergenzbereichs. Die Konvergenz ist auf G gleichmäßig, damit ist die durch die Reihe auf G definierte Funktion F auf G stetig.
Ist $\sum_{n=0}^\infty b_n$ eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet D⊆M ||f_n(x)||>b_n für alle x∈D und alle n∈ℕ, so ist G eine Teilmenge im Komplement des Konvergenzbereichs.

[Bearbeiten] Satz von Cauchy-Hadamard

Sei $M=\mathbb C$ , $E=\mathbb C$ und $f_n(x)=c_n\cdot x^n$ mit $c_n\in\mathbb C$ für jedes $n\in\N$ , d.h. die Funktionenreihe $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

Die offene Kreisscheibe B(0,r) um den Nullpunkt mit Radius r>0 gehört zum Konvergenzbereich, falls |c_n|∙rⁿ<1 für fast alle $n\in\N$ erfüllt ist.
Das Komplement der Kreisscheibe B(0,R) liegt außerhalb des Konvergenzbereichs, wenn |c_n|∙Rⁿ>1 für unendlich viele $n\in\N$ gilt.
Der Konvergenzbereich ist eine Kreisscheibe um den Nullpunkt mit dem Konvergenzradius $r=(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|})^{-1}$ , falls diese Zahl existiert. Andernfalls ist der Konvergenzbereich ganz $\mathbb C$