Konvergenzradius
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Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form
ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert. Das heißt, der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe enthält das Innere der Kreisscheibe um den Mittelpunkt x0 und mit Radius r.
Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:
![r=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}](../../../math/c/2/a/c2a28f11f1861696abdac3b5fe9ab1cc.png)
Wenn ab einem bestimmten Index alle an von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:
Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge a2n = 1,a2n + 1 = 1 / n: Die zugehörige Reihe hat Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.
Folgerungen aus dem Konvergenzradius:
- Ist | x − x0 | < r, so ist die Potenzreihe absolut konvergent
- Ist | x − x0 | > r, so ist die Potenzreihe divergent
- Ist | x − x0 | = r, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden.
[Bearbeiten] Beispiele für unterschiedliches Randverhalten
Die folgenden drei Beispiele haben jeweils Konvergenzradius 1:
konvergiert für kein x mit | x | = 1
konvergiert für alle x mit | x | = 1
konvergiert für alle x mit 
außer für x = 1.
[Bearbeiten] Literatur
- E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin 1995, ISBN 3-540-58650-4
- P. Hartmann: Mathematik für Informatiker. 3. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn Verlag Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-23181-5
