Lemma von Itō
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Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. Es ist die Kettenregel aus der Differentialrechnung für stochastische Prozesse.
[Bearbeiten] Voraussetzung
Sei 
eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Ein stochastischer Prozess 
heißt Itō-Prozess, falls
für zwei Funktionen f ,g gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:- dXt = f(t,Xt)dt + g(t,Xt)dWt.
[Bearbeiten] Das Lemma
Das Lemma von Itō besagt: Ist 
eine in der ersten Komponente einfach und in der zweiten zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auch Yt: = h(t,Xt) ein Itō-Prozess und es gilt
.
[Bearbeiten] Ein Beispiel
Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische Brownsche Bewegung
das stochastische Anfangswertproblem von Black und Scholes
löst: hierzu wählt man Xt = Wt, also 
.
Dann ergibt das Lemma (mit h=S):
![dS_t=\left[\left(r-0.5 \sigma^2+\frac{\sigma^2}{2}\right)ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]dt+\left[\sigma ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]dW_t =rS_t dt+\sigma S_t dW_t](../../../math/5/a/5/5a5cd4cf50b6db19a3bc672ad61d0eae.png)
