Lemme d'Itô

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Sommaire

1 Énoncé
2 Remarque
3 Un exemple : résolution de l'équation du mouvement brownien géométrique
4 Applications
5 Histoire
6 Références
7 Voir aussi

[modifier] Énoncé

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Si $X$ est la solution de l'EDS

$X(t)=X(0)+\int_0^t \sigma(s,X(s))\,dB(s) +\int_0^t b(s,X(s))\,ds$ ,

où $B$ est un mouvement brownien, et $f (t, x)$ est une fonction continûment dérivable en temps et deux fois continûment dérivable en espace (c'est-à-dire de classe $\mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$ ), alors

$\begin{matrix} f(t,X(t))=&f(0,X(0))+ \int_0^t \sigma(s,X(s))\frac{\partial f}{\partial x}(s,X(s))\, dB(s) +\int_0^t b(s,X(s))\frac{\partial f}{\partial x}(s,X(s))\, ds\\ &+\int_0^t \frac{\partial f}{\partial t}(s,X(s))\, ds +\frac{1}{2}\int_0^t \sigma^2(s,X(s))\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(s,X(s))\, ds. \end{matrix}$

On la note plus souvent sous sa forme différentielle, en notant $Y t = f (t, X t)$

${\rm d}Y_t = \frac{\partial f}{\partial t}(t,X_t)\, {\rm d}t + \frac{\partial f}{\partial x}(t,X_t)\, {\rm d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t,X_t)\, .\, ({\rm d}X_t)^2$

où $({\rm d}X_t)^2=({\rm d}X_t).({\rm d}X_t)\,$ est calculé en utilisant les règles

${\rm d}t.{\rm d}t={\rm d}t.{\rm d}B_t = {\rm d}B_t.{\rm d}t = 0 \quad , \quad {\rm d}B_t.{\rm d}B_t = {\rm d}t$

[modifier] Remarque

Cette formule peut être vue comme une généralisation de la formule de Newton, qui exprime une fonction $f$ continûment dérivable comme l'intégrale de sa dérivée.

Si $X$ est un chemin dérivable à dérivée continue (c'est-à-dire une fonction de classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+;\mathbb{R})$ ), et si $f$ est aussi une fonction de classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+;\mathbb{R})$ , alors $f (X (t))$ peut s'écrire en application de la formule de Newton :

$f(X(t))=f(X(0))+\int_0^t \frac{d f}{d x}(X(s))d X(s) =f(X(0))+\int_0^t \frac{d f}{d x}(X(s))\frac{d X}{d t}(s)ds.$

Cette formule ne peut s'appliquer au mouvement brownien ou aux solutions équations différentielles stochastiques, car leurs trajectoires ne sont pas dérivables (elles sont $α$ -Hölder continues dès que $α < 1 / 2$ ).

Le formule d'Itô est une adaptation de cette dernière formule, à l'aide de la notion d'intégrale stochastique. Sa spécificité est l'apparition de terme $\frac{1}{2}\int_0^t \sigma^2(s,X(s))\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(s,X(s))\, ds$ , qui est du à l'irrégularité de $X (t)$ .

[modifier] Un exemple : résolution de l'équation du mouvement brownien géométrique

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le modèle le plus simple d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'EDS

$d X(t)=\sigma X(t)\, dB(t) +\mu X(t)\, dt,$ où $B$ est un mouvement brownien.

Notons que si $σ = 0$ , alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est $X (t) = X (0)exp(μ t)$ .

Par analogie avec le cas ordinaire et grâce à la formule d'Itô, si $\sigma\not=0$ , alors $X (t)$ est égal à $X(t)=X(0)\exp\left(\sigma B(t) +\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2 t\right)$ (notez la présence du terme $-\frac{1}{2}\sigma^2 t$ ).

[modifier] Applications

La formule d'Itô est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique, et elle est donc appliquée là où ce dernier sert : mathématiques appliquées, physique, finance (dans la formule de Black et Scholes par exemple), ...

En calcul stochastique,

Elle permet de faire le lien entre les solutions d'EDS et des opérateurs différentiels du second ordre, et donc entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles.

Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions faibles de régularité sur les coefficients.

Son importance tient en partie au résultat de stabilité suivant: une fonction de classe $\mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R};\mathbb{R})$ appliquée à une semi-martingale transforme celle-ci en une autre semi-martingale.

[modifier] Histoire

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyosi Itô dans les années 1940.

La mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacheté à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

[modifier] Références

C. G. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods (3^ème éd.), Springer, 2004. ISBN 3540208828

I. Karatzas et S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Mathematics (2^ème éd.), Springer, 2004. ISBN 0387976558.

B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications (6^ème éd.), Springer, 2005. ISBN 3540047581

(ouvrage de vulgarisation) G. Pagès et C. Bouzitat. En passant par hasard... les probabilités de sous les jours, Vuibert, 1999. ISBN 2711752585

D. Revuz et M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, (3^ème éd.), Springer, 2004.ISBN 3540643257

L.C.G. Rogers et D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales (2^ème éd.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000. ISBN 0521775930

... et tout ouvrage traitant du mouvement brownien et du calcul stochastique.