Logarithmische Verteilung
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Die logarithmische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.
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[Bearbeiten] Definition
Eine diskrete Zufallsgröße Xn genügt der logarithmischen Verteilung mit den Parametern k (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit
besitzt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
[Bearbeiten] Erwartungswert
Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von
.
[Bearbeiten] Varianz
Die Varianz bestimmt sich zu
.
[Bearbeiten] Variantionskoeffizient
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten
.
[Bearbeiten] Schiefe
Die Schiefe ergibt sich zu:
.
[Bearbeiten] Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
.
[Bearbeiten] Erzeugende Funktion
Für die erzeugende Funktion erhält man.
.
[Bearbeiten] Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist
.
