Diskussion:Mengenlehre

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Die einzige Grundrelation ist ? (gesprochen Element von), z.B. x ? M, wenn x als Element in M enthalten ist.
da scheint es ein Formatierungsproblem zu geben - mit diesem Quadrat kann ich nicht viel anfangen... :-( --Robodoc 10:57, 2. Okt 2003 (CEST)

Das Zeichen ∈ ist das HTML-Zeichen für . Es wird von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt. Ich hab jetzt den Artikel geändert, um den Leser darauf aufmerksam zu machen. Zu nicht dargestellten HTML-Zeichen siehe auch Wikipedia:WikiProjekt Mathematik/Diskussionsforum. --SirJective 11:34, 2. Okt 2003 (CEST)

Inhaltsverzeichnis 1 Hilfe bei einem Problem, verständlichere Darstellung 2 Verdient "Menge" nicht einen eigenen Artikel? 3 Frage 3.1 Platte Frage 4 Überarbeitung der Geschichte der Mengenlehre 5 Gleichheit 5.1 Symbol für die logische Äquivalenz 6 Teilmenge 7 Wikipedia-Artikel sind keine Lehrbücher 8 Verwendung von Symbolen 9 == Gliederung == 10 Danke 11 Toter Weblink 12 "Summe" 13 Layout 14 Wird Mengenlehre noch in der Schule unterrichtet? 15 Die Darstellung der symmetrischen Differenz ist falsch

[Bearbeiten] Hilfe bei einem Problem, verständlichere Darstellung

Hilfe ich habe ein Problem!!!! Meine Aufgabe lautet: geg: M2:={1} M3:={a,b,1} ges: M2 X M2 X M3 (Erklärung: X kartesisches Produkt=Kreuzprodukt) Frage: Wie lautet die Antwort?

Sorry, aber die Wikipedia ist eine Enzyklopädie, kein Experten-Forum. Antwort auf deine Frage findest du vermutlich am ehesten in einer entsprechenden Newsgroup ( [1] ), oder im Experten-Forum "Mathematik und Physik" bei "Wer-Weiss-Was" ( [2] ) Viel Glück! --Thomas 16:10, 18. Okt 2003 (CEST)

Stimmt nicht ganz! Sofern sich die "mathematischen" Autoren nicht um bessere Verständlichkeit bemühen, handelt es sich eben um nicht mehr als ein Expertenforum. So auch hier. Ich habe die Mengenlehre anhand der "Nachhilfestunden" mit meinen Töchtern (wieder) verstanden und muss daher sagen, dass sie in jedem Lehrbuch der Oberstufe besser - d.h. in verständlicherer Form abgehandelt wird als hier. Gerade eine Enzyklopädie wie Wikipedia sollte auch die Menschen als Zielpublikum ansprechen, die keine mathematische Vorbildung haben. Sich auf den Standpunkt zu stellen, dass gewisse Wahrheiten eben solche seien, ist bloß bequem oder bezeugt - leider aber doch - didaktische Unfähigkeit.

Das fände ich sehr schade, denn dadurch müsste auf ein absolut notwendiges Mass von Präzision verzichtet werden. Aus meiner Erfahrung kann ich einfach sagen, dass die ausgezeichneten Informationen - besonders aus dem Mathematik- / Informatik- Zweig der Wikipedia mir scheinbar unverständliche Sachverhalte schnell und auf einfachstmögliche Art zugänglich gemacht haben.

Besonders die fachliche Kompetenz, Vollständigkeit, die korrekte mathematische Notation und eine klare Darstellungsweise sind im Web in dieser Fülle (an zusammenhängenden Artikeln) einmalig! Ich habe sogar das Gefühl, dass die deutschsprachige Wikipedia der englischsprachigen in diesem Bereich voraus ist. Weiter so!

PS: Dies ist ein Nachschlagewerk; ein gewisses Mass an Sachverständnis müssen Sie eben mitbringen. Um sich dieses anzueignen, kaufen Sie sich am besten ein Buch, das von Grund auf alles erklärt.

Ich würde daher gerne um eine verständlichere Bearbeitung dieses und anderer mathematischer Themen, siehe auch Lot (Mathematik), bitten. -- Robodoc 12:57, 13. Jan 2004 (CET)

Ich gebe meine didaktische Unfähigkeit gerne zu, bin aber zu folgendem Kompromiss bereit: Es finde sich jemand, der den Artikel fuer Menschen ohne "mathematische Vorbildung" (solche sollte es heute eigentlich gar nicht mehr geben!) aufbereitet, und ich werde ihn dann auf seine mathematische Korrektheit ueberpruefen. (Selbstverstaendlich hab ich kein Problem mit umgangssprachlichen Erklaerungen, wie das bei Stetigkeit geschieht, aber trotz aller gewuenschter Verstaendlichkeit sollten die Aussagen doch mathematisch korrekt sein, was z.B. bei der Aussage "die Division durch 0 ist verboten" nicht gegeben ist... aber damit weiche ich vom Thema ab) --SirJective 13:09, 13. Jan 2004 (CET)

"Die Division durch 0 ist verboten" - das ist doch schon wieder eine interessante Ergänzung zum Beitrag über die Null! Ich habe z.B. nicht gewusst, dass diese Aussage mathematisch falsch sein könnte. Auf dein obiges Angebot zurückkommend werde ich das einmal so einfügen, wie ich das jetzt verstanden habe. Ich werde mich über eine fachkundige Korrektur sehr freuen;-) --Robodoc 20:12, 13. Jan 2004 (CET)

Zur Division durch 0 siehe Diskussion:Null (Zahl). Man kann die Division durch 0 verbieten, aber das ist unnoetig, weil die Division durch 0 unmoeglich ist. Ebenso kann man in der Schule verbieten - solange man nur mit reellen Zahlen rechnet - die Wurzel aus -1 zu ziehen, aber das ist unnoetig, weil diese Operation in den reellen Zahlen unmoeglich ist. Kurz: Unmoegliches muss man nicht verbieten. --SirJective 12:45, 15. Jan 2004 (CET)

Gerade das finde ich verwerflich. Wenn jemand wissen möchte, was die Wurzel einer negativen Zahl ist, beziehungweise, wie man sie berechnet, dann sollte man ihm es zeigen, egal, ob er nun die komplexen Zahlen schon als Stoff gehabt hatte oder nicht. Wenn es eine Tür zu einem neuen Raum der Mathematik gibt, und jemand diese Tür öffnen will, dann soll man ihm den Schlüssel geben.

Genaus, wie man jemandem zeigen soll, so er wissen will, was er bekommt, wenn er eine größere Zahl von einer kleineren abziehen will, das er den Bereich der natürlichen Zahlen verläßt, und nicht, das es Verboten oder Unmöglich ist.--Arbol01 03:06, 10. Mai 2004 (CEST)

Dem kann ich teilweise zustimmen. Solange ich in der Grundschule nur mit natürlichen Zahlen gerechnet hatte (und nur rechnen durfte!), war es unmöglich, 3 - 5 zu bestimmen: Die vorgesehene Antwort war "nicht lösbar". Das hat mich damals maßlos geärgert, schließlich wusste ich schon, dass -2 das Ergebnis ist. Mir hat damals nur niemand erklärt, dass diese Rechenoperation in natürlichen Zahlen unlösbar ist. Stattdessen hat man uns verboten, eine größere Zahl von einer kleineren abzuziehen.

Und ähnliches meinte ich hier: Ein Verbot ist das schlimmste, was einem in einer solchen Situation begegnen kann. In meinem letzten Beitrag hatte ich mich darauf beschränkt, zu erklären, dass bestimmte Operationen im bekannten Bereich unmöglich sind. Sinnvoller ist es tatsächlich, dem Fragenden zu zeigen, dass eine Antwort existiert - woanders, nicht in dem Bereich, den man schon kennt.

Bei negativen Subtraktionsergebnissen und Wurzeln negativer Zahlen ist es also sinnvoller, zu sagen, wie das Ergebnis aussieht, und dass es sich dabei aber um Zahlen handelt, mit denen wir noch nicht rechnen. Vielleicht hätte in der ersten Klasse verstanden, wenn man mir gesagt hätte: "Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen". Naja, wohl eher nicht *g*

Die Division durch 0 ist jedoch etwas, wo man wirklich nur zeigen kann, dass es - unter Beibehaltung aller Rechenregeln - unmöglich ist. Und das sollte man dann aber tun, statt es zu verbieten. --SirJective 15:47, 10. Mai 2004 (CEST)

Manches muß anscheinen lange lagern. Naja, ich hatte es schon inzwischen vergessen:

SirJective schrieb: Vielleicht hätte in der ersten Klasse verstanden, wenn man mir gesagt hätte: "Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen"

Da fällt mir in der Argumentation ein Fehler auf. Natürlich kann der Lehrer sagen:Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen", begeht damit aber eine Lüge! Denn (N,-), also das Tupel (Natürliche Zahlen, Subtraktion) ist nich abgeschlossen, und damit keine algebraische Struktur. Wenn also ein Schüler sagt 4 - 6 = -2, so muß dies korrekt sein, wenn man sich innerhalb der Gruppentheorie bewegt. (Z,-) ist abgeschlossen, und damit eine algebraische Struktur. --Arbol01 16:22, 29. Okt 2004 (CEST)

Ja, lang ist's her.

Ich denke aber nicht, dass das Argument fehlerhaft ist: Kein Lehrer hat behauptet, dass die Subtraktion auf N eine innere Verknüpfung sei. Ebenso wie die Division "a/b" in einem Körper K definiert ist auf der Menge K x (K\{0}) wäre die Subtraktion "a-b" in N nur definiert auf der Menge {(a,b) | a in N, b in N, a>b}. Beides sind damit nur "partielle Verknüpfungen" auf der Grundmenge K bzw. N.

Das Ergebnis "4 - 6 = -2" ist korrekt in Z, aber warum sollte man in die erzeugte Gruppe übergehen? In der Halbgruppe (N, +) ist die Gleichung "6 + x = 4" halt unlösbar, und genau das war die gewünschte Antwort: "nicht lösbar (in N)". --SirJective 22:25, 29. Okt 2004 (CEST)

Das Ergebnis "4 - 6 = -2" ist korrekt in Z, aber warum sollte man in die erzeugte Gruppe übergehen?

Antwort: Weil man sie erzeugt hat, weil sie existiert. Waum sich mit etwas unvollkommenem abgeben, wenn es etwas Volkommenes gibt. --Arbol01 22:49, 29. Okt 2004 (CEST)

Natürlich muss man sich nicht mit natürlichen Zahlen zufrieden geben. Ich weiß auch nicht, warum das in der Grundschule gemacht wird. Irgendwas werden die Damen und Herren Pädagogen sich wohl dabei gedacht haben. Ich will diese Vorgehensweise auch nicht rechtfertigen, falls das so aussehen sollte. Ich will nur klarstellen, dass es eine durchaus mögliche und vor allem konsistente Vorgehensweise ist: 4 - 6 ist nicht berechenbar in N, fertig. Was jenseits des Tellerrandes ist, ist eine andere Frage.

Ursprünglich ging es ja darum, dass man unmögliches nicht verbieten muss, weil es eben unmöglich ist. Wir haben nun aber festgestellt, dass "unmöglich" ein relativer Begriff ist: Es ist in Z unmöglich, 2 durch 3 zu teilen, es ist in N unmöglich, 6 von 4 abzuziehen, es ist in Q unmöglich, die Quadratwurzel von 2 zu bilden, es ist in R unmöglich, die Quadratwurzel von -1 zu bilden, es ist in R unmöglich, eine Zahl anzugeben, deren Betrag größer als jede natürliche Zahl ist. Dass einige der Aufgaben in bestimmten Oberstrukturen möglich sind, ändert nichts an ihrer Unmöglichkeit in der Unterstruktur.

Eine andere Frage ist die, ob man einem interessierten Schüler diese Oberstruktur zeigen sollte, um ihm die Relativität der Unmöglichkeit zu demonstrieren. Da stimme ich mit dir überein, dass das sinnvoll ist. --SirJective 01:28, 30. Okt 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Verdient "Menge" nicht einen eigenen Artikel?

Der Begriff Menge ist z.Zt. eine Weiterleitung auf Mengenlehre. Eine Erklärung des Mengenbegriffs taucht aber hier nur am Rand auf. Für mathematisch unkundige Leser ist das evtl. enttäuschend, denn Informationen zu axiomatischer Mengenlehre helfen jemandem, der nicht eine Vorstellung von Mengen hat, auch nicht.

Ein eigener Artikel zu Menge wäre hier sinnvoller. Der sollte

• Eine Vorstellung vom Mengenbegriff vermitteln
• Die gängigen Schreibweisen und verwandten Begriffe erläutern (Elementbeziehung, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt...). Das kann etwas ausführlicher sein, als jetzt unter Mengenlehre
• Unterschiedliche Beispiele von Mengen bringen und daran erläutern, warum der Mengenbegriff so wichtig ist.
• Für Geschichtliches und verschiedene definitorische Ansätze auf Mengenlehre verweisen.
• Weitere Verweise zu grundlegenden Begriffen enthalten, z.B: Mächtigkeit

Wer traut sich? --Alex Krauss 01:03, 10. Jun 2004 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass ein eigener Text über die Menge (Mathematik) geben sollte, der Laien verständlich ist. Vielleicht sowas wie en:Set. Im englischen en:Set theory wird inzwischen zwischen axiomatischer, naiver und anderen Mengenlehren unterschieden, das sollte auch hier eingefügt werden. --SirJective 10:37, 11. Jun 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Frage

Nach Cantor besitzt die Menge aller positiven geraden natürlichen Zahlen die Mächtigkeit / Kardinalzahl aleph0, wobei aleph0 eine ganze Zahl sein soll, die größer als jede natürliche Zahl ist. Nun sieht man aber leicht, daß jeder nicht leere endliche Abschnitt der positiven geraden natürlichen Zahlen, wie etwa (2,4,6,8,10), mindestens zur Hälfte aus Zahlen besteht, die größer als die Kardinalzahl sind (im Beispiel sind die Zahlen 6, 8 und 10 größer als die Kardinalzahl 5 des Abschnittes). Solches gilt für jeden nicht leeren Abschnitt aus endlichen geraden Zahlen. Es gibt aber per Definition keine natürlichen Zahlen, die nicht endlich wären. Wie kann man sich vorstellen, daß "am Ende der Unendlichkeit" die Kardinalzahl doch noch alle geraden natürlichen Zahlen einholt und überholt??? (W. Mückenheim)

aleph0 ist keine ganze Zahl, sondern eine Kardinalzahl, die größer als jede natürliche Zahl ist. Du hast damit recht, dass für jeden endlichen Abschnitt nur die Hälfte der Zahlen gerade sind, und jede natürliche Zahl endlich ist. Aber: Eigenschaften, die im Endlichen gelten (wie die, dass es mehr natürliche als gerade Zahlen unterhalb einer Schranke gibt), müssen beim Übergang ins Unendliche nicht mehr gelten. Denkt man sich diesen Übergang als Grenzprozess, dann ist die betreffende Eigenschaft schlicht "unstetig".

Ich kann mir einen Übergang ins Unendliche nicht vorstellen, genausowenig wie das Unendliche selbst. Ich glaube, dass niemand das wirklich kann, und halte das für das Hauptproblem mit dem Unendlichen. Im Einklang mit der Theorie ist jedoch die Aussage, dass die geraden Zahlen dieselbe Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen haben, weil es eine Bijektion zwischen den geraden und den natürlichen Zahlen gibt. Man könnte das (sehr) salopp auch so formulieren: "Unendlich / 2 = Unendlich".

Dieses Verständnis des Unendlichen ist statisch, hat keinen "eingebauten" Begriff eines Übergangs vom Endlichen (man nennt es "aktuale Unendlichkeit"). Hat man kein fertiges Unendliches, sondern kann seinen endlichen Bereich nur beliebig vergrößern, dann hat man eine "potentielle Unendlichkeit", in der man von der "Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen" gar nicht sprechen kann, weil diese Menge nicht existiert. --SirJective 13:24, 27. Sep 2004 (CEST)

Oh, das war aber eine prompte Reaktion! Nach Cantor (z. B. S. 171 der Gesamtausgabe: "...eine beliebige ganze Zahl der ersten oder zweiten Zahlenklasse" und viele andere Zitate) sind die transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen ganze Zahlen. Die Möglichkeit einer Bijektion ist mir bewusst. Einen Übergang ins Unendliche kann ich mir auch nicht vorstellen, glaube aber durch meinen Einwand gezeigt zu haben, daß er tatsächlich gar nicht möglich ist. Denn auch Cantor geht davon aus, daß alle natürlichen Zahlen endliche Zahlen sind. Für die endlichen gilt aber mein Argument - oder nicht??? Das ist kein Problem des Unendlichen, sondern seiner falschen (aktualen) Anwendung. Ein zweites Argument liefert der einfache Sachverhalt, daß zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen immer eine rationale liegt. Wo stecken denn die überabzählbar vielen anderen irrationalen? (Mit einem von Cantor selbst gelieferten Beweis könnte man übrigens die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge wohlordnen.) Ein drittes Argument liefert Cantors berühmte Liste selbst: Würde eine Zeile mit omega numeriert, so könnte man in dieser Zeile die Diagonalziffer nicht finden. Wird aber keine Zeile mit omega numeriert, so wird jede nur mit einer endlichen natürlichen Zahl numeriert und ist damit auch nur um eine endliche Schrittweite von der ersten entfernt. Es ergibt sich also keine Irrationalzahl sondern eine gewöhnliche rationale als Diagonalzahl. Außerdem ist die Liste sowieso nicht vollständig, denn nach Cantor ist jede Zahl, die kleiner als omega ist, eine endliche Zahl, die (Zitat:) von anderen endlichen Zahlen übertroffen wird. Hilbert mit seinem berühmten Hotel hätte das eigentlich als erster merken müssen, anstatt vom Paradies zu träumen. (W. Mückenheim)

Um es nocheinmal deutlich zu formulieren: Mein Beweis gilt für jede endliche gerade Zahl 2n. Die oben erwähnte Unstetigkeit liegt daher nicht im Definitionsbereich der geraden Zahlen. Und alles was danach kommt (einschließlich des "Überganges ins Unendliche"), kann diese Zahlen nicht betreffen und interessiert mich daher nicht. Mir geht es nur um die natürlichen, also endlichen geraden Zahlen. (W. Mückenheim)

Du hast damit recht, dass Cantor Ordinalzahlen (von Kardinalzahlen hab ich in den ersten Bänden der Math. Annalen nichts gelesen, kann aber auch sein) als unendliche ganze Zahlen bezeichnet. Nach heutigem Sprachgebrauch sind diese keine ganzen Zahlen.

Ob die aktuale Anwendung des Unendlichen automatisch eine falsche ist (wie du zu behaupten scheinst), ist eine Frage, mit der sich Mathematiker seit Cantors Zeiten beschäftigen; dieser Disput sollte in der Wikipedia dargestellt, nicht ausgetragen werden. Cantor selbst unterscheidet zwischen dem "Uneigentlich-Unendlichen", das z.B. in der Analysis für den Grenzwertbegriff verwendet wird, und dem "Eigentlich-Unendlichen", das in der Funktionentheorie für den unendlich fernen Punkt der erweiterten komplexen Ebene verwendet wird (Math. Annalen, irgendein Teil seines Aufsatzes über lineare Punktmengen). Ob die Unterscheidung in "potentiell unendlich" und "aktual unendlich" noch eine andere ist, vermag ich noch nicht zu sagen.

Für natürliche Zahlen n hast du völlig recht, dass die Hälfte der geraden Zahlen kleinergleich n größer ist als die Anzahl aller geraden Zahlen kleinergleich n.

Dein zweites Argument: Ich versteh die Frage nicht. Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es sowohl (abzählbar) unendlich viele rationale als auch (überabzählbar) unendlich viele irrationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge sind nicht wohlgeordnet, wenn man sie wohlordnet, ändert man ihre Reihenfolge. Aber was hat das damit zu tun?

Leider hab ich Cantors ursprüngliche Formulierung seines zweiten Diagonalargumentes noch nicht gefunden (hast du da eine Quelle?); zu Cantors erstem Überabzählbarkeitsbeweis hab ich Quellen (Crelles Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Bd. 77, und Math. Annalen, Bd. 15).

Eine Diskussion über die (Un-)Gültigkeit des Diagonalarguments sollten wir nicht hier führen, denn für Diskussionsseiten gild die "Grundregel": "diskutiert über den Artikel, nicht über das Thema des Artikels!". --SirJective 11:56, 9. Okt 2004 (CEST)

[3] Da geht einem doch der Hut...--MKI 16:10, 9. Okt 2004 (CEST)

G E O R G C A N T O R, GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind, Herausgegeben von ERNST ZERMELO, Nebst einem Lebenslauf Cantors von ADOLF FRAENKEL, 1966, GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM, p. 166. "Während aber der Punkt im Unendlichen der komplexen Zahlenebene vereinzelt dasteht gegenüber allen im Endlichen liegenden Punkten, erhalten wir nicht bloß eine einzige unendliche ganze Zahl, sondern eine unendliche Folge von solchen, die voneinander wohl unterschieden sind und in gesetzmäßigen zahlentheoretischen Beziehungen zueinander sowohl wie zu den endlichen ganzen Zahlen stehen." Den Ausdruck "Alef" benutzte Cantor erst ab 1895 (außer möglicherweise in privater Korrespondenz), den Ausdruck "Aleph" nie. Vorher stand omega bei Cantor sowohl für Ordinal- als auch Kardinalzahlen. Für Cantors zweites Diagonalelement: G. Cantor, Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing. Bd. I, S. 75-78 (1890-91) oder oben in den ges. Abh. p. 278 - 281 Zur Frage der Häufigkeit der rationalen Zahlen: Wenn zwischen zwei reellen Zahlen, der Größe nach geordnet, immer eine rationale Zahl liegt, so ist es unmöglich, daß mehr irrationale als rationale Zahlen existieren. Um das zu sehen, braucht man keine Wohlordnung. Die Unterscheidung zwischen aktual (oder transfinit) und potentiell (oder synkategorematisch)unendlich ist bei Cantor dieselbe wie zwischen eigentlich und uneigentlich unendlich. Er spricht aber mehrfach von der unendlichen Menge der endlichen Zahlen. Wenn also ein Beweis für alle endlichen Zahlen gilt, so gilt er für die Menge aller endlichen Zahlen. Eigentlich eine Tautologie, die aber zu Widersprüchen Anlaß gibt. (W. Mückenheim)

Danke für die Quellenangaben. Ich muss mal nach den Büchern suchen, denn in meiner Fakultätsbibliothek finde ich weder Cantors gesammelte Abhandlungen noch den ersten Band des Jahresberichts der deutschen Mathematikervereinigung. :-(

Kannst du mir zeigen, wie aus der Tatsache, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen stets eine irrationale und zwischen zwei verschiedenen irrationalen stets eine rationale Zahl liegt, folgen soll, dass es nicht mehr irrationale als rationale Zahlen geben kann? Mir fällt dafür kein Beweis ein.

--SirJective 20:57, 23. Okt 2004 (CEST)

Ein Beweis im mathematisch strengen Sinne bedarf einer injektiven Abbildung. Ein solche habe ich auf der diesjährigen DMV-Tagung in Heidelberg vorgestellt. Ein Argument des "gesunden Menschenverstandes" sagt mir aber schon, daß in einer linearen Anordnung von roten und blauen Knöpfen nur dann mehr rote als blaue vorkommen können, wenn mindestens an einer Stelle zwei rote ohne einen blauen dazwischen existieren. Dies ist eine an Chausseebäumen oder Zaunlatten beobachtete Tatsache und als solche sicher nur im Endlichen zwingend. Andererseits können wir die reellen Zahlen mit einem Mikroskop beliebiger Vergrößerung betrachten: Wir finden immer wieder eine rationale Zahl zwischen zwei irrationalen. Wo sollten die (überabzählbar unendlich vielen) überzähligen irrationalen Zahlen sich verstecken? (W. Mückenheim, 27.10.04)

"Gesunder Menschenverstand ist die Schicht von Vorurteilen, die sich im Kopf ablagert, bevor man 18 ist." (angeblich Einstein)

Der gesunde Menschenverstand ist mMn für die Phänomene ausgelegt, die dem Menschen regelmäßig in der Welt "da draußen" begegnen; seine Vorhersagen treffen bereits bei elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung nur noch selten zu. Wie soll dann der gesunde Menschenverstand ein Argument bei Aussagen über das Unendliche sein, etwas, was uns in der Alltagswelt nie begegnet? Solche Aussagen bedürfen eines streng mathematischen Beweises, weil unsere Anschauung im Unendlichen keine zuverlässigen Vorhersagen ermöglicht.

Der Versuch, die Situation von Lattenzäunen (mit Latten und Zwischenräumen) auf die Menge der reellen Zahlen übertragen zu wollen, ist durchaus anschaulich. Er vernachlässigt aber die entscheidende Tatsache, dass zwischen irgend zwei verschiedenen rationalen Zahlen nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele irrationale Zahlen liegen. Bei der dann notwendigen Unterscheidung, ob es nun abzählbar viele oder überabzählbar viele sind, versagt die Anschauung. Denn man kann statt den rationalen und irrationalen Zahlen z.B. die rationalen und die irrationalen algebraischen Zahlen betrachten, die ebenfalls die Eigenschaft haben, dass zwischen je zwei Zahlen der einen Sorte eine der anderen Sorte liegt. Auch hier gibt es keine zwei rationalen Zahlen, zwischen denen nur endlich viele irrationale algebraische Zahlen liegen, aber diese Mengen sind beide abzählbar.

--SirJective 19:39, 27. Okt 2004 (CEST)

Schon klar. Übrigens: Wenn Du mir Deine e-mail Adresse gibst, dann kann ich Dir Cantors Originalarbeit zum Diagonalverfahren als doc oder pdf schicken. (WM)

[Bearbeiten] Platte Frage

Zum Verständnis: Kann man platt sagen: das was die Menge ausmacht ist, dass sie keine 'Doppelten' enthält und die 'Reihenfolge' egal ist?

Ja, ich denke, das kann man, wenn man von Feinheiten absehen will. -- Peter Steinberg 23:38, 22. Jun 2005 (CEST)

Das ist eine Eigenschaft, die Mengen z.B. von Listen (s. Tupel) unterscheidet. --SirJective 08:26, 23. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Überarbeitung der Geschichte der Mengenlehre

Der Artikel hat durch die Änderungen von Peter Steinberg deutlich an Qualität gewonnen. Vielen Dank!--MKI 8. Jul 2005 12:35 (CEST)

Danke für die Blumen, sowas tut gut. -- Peter Steinberg 8. Jul 2005 22:58 (CEST)

Habe mir einige wenige sprachliche Änderungen (nur Tippo-Korrekturen) in Peter Steinbergs "Überarbeitung der Geschichte der Mengenlehre" erlaubt. Hoffe, sie finden seine Zustimmung. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] Gleichheit

Sollen wir die Gleichheit zweier Mengen hier wirklich definieren? Der Artikel Mengenlehre soll einen Überblick geben, für den axiomatischen Aufbau ist beispielsweise der Artikel Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zuständig. Wann zwei Mengen gleich sind, ist meiner Meinung nach intuitiv klar und bräuchte eigentlich nicht näher erläutert werden.--MKI 8. Jul 2005 12:35 (CEST)

Da muss ich noch ein bisschen nachdenken. -- Peter Steinberg 8. Jul 2005 22:58 (CEST)

Ich habe nachgedacht und meine: Ja, wir sollten. Zwei Gründe:

• Der Artikel ZFC ist starker Tobak für den Leser, siehe Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Eine Anmerkung:. In unserem Lemma hier dürfen wir ein bisschen zugänglicher formulieren, im Beispiel konkret: Zwei All-Quantoren weglassen, einen Definitions-Doppelpunkt setzen und unterschiedliche Symbole für das verwenden, was im aktuellen Zusammenhang als Elemente aufgefasst werden soll, wie das bei Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Unterscheidung Notation so dringend gewünscht wird (und es Gunther an dieser Stelle völlig zu recht ablehnt).
• Die Gleichheit ist der wirklich kritische Begriff in der Mengenlehre und birgt einen Rattenschwanz von Problemen. Siehe dazu schon mal: Menge (Mathematik)#Gleichheit von Mengen und Extensionalität. Der Abschnitt über Gleichheit in unserem Lemma ist noch sehr unfertig. Ich denke intensiv darüber nach, wie man ihn ausbauen kann, ohne unverständliches Kauderwelsch und ohne all zu viel Überschneidungen mit "Menge (Mathematik)". (In ZFC sind diese Probleme natürlich alle "gelöst" - Aber deutlich werden sie nicht!) -- Peter Steinberg 9. Jul 2005 00:08 (CEST)

Ich denke auch, dass man auch intuitiv klare Dinge erwähnen darf :-) Etwas weniger formal wäre allerdings ausreichend.--Gunther 9. Jul 2005 00:18 (CEST)

Den Satz

"Die meisten mathematischen Probleme lassen sich auf die Frage zurückführen, ob zwei unterschiedlich beschriebene Mengen ... extensional gleich sind."

habe ich herausgenommen, denn:

• Viele mathematische Probleme sind nur Implikationen in einer Richtung, keine Äquivalenzen (z.B. riemannsche Vermutung).
• Viele Äquivalenzen beziehen sich auf eine echte Klasse von Objekten (z.B. Poincare-Vermutung).
• Viele Probleme sind Fragen nach der Gleichheit von Zahlen, nicht Mengen (z.B. Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung).

--Gunther 9. Jul 2005 01:20 (CEST)

Gut, das überzeugt mich. Trotzdem sind Fragestellungen von der Art "Trifft die Eigenschaft A auf genau dieselben Dinge zu wie die Eigenschaft B" für die Mathematik sehr typisch - und die lauten, mengentheoretisch formuliert, alle so wie agegeben. (z.B. Pythagoras: {x ∈ D | x ist rechtwinklig bei C} ?=? {x ∈ D | Für x gilt a²+b²=c²} - D ist die Menge aller Dreiecke ABC in einem metrischen R³...) Darauf möchte ich hinweisen, und dagegen argumentierst du ja auch nicht. Ist das Problem also gelöst, wenn wir statt "die meisten" schreiben: "viele"? oder "typische"? - Ich probiers jetzt mal mit "viele", ohne die Diskussion damit abschneiden zu wollen. -- Peter Steinberg 23:09, 11. Jul 2005 (CEST)

Du scheinst meinen zweiten Punkt zu übersehen: Sobald Du z.B. nicht mehr alle Dreiecke im , sondern alle Dreiecke in allen dreidimensionalen reellen Vektorräumen mit positiv definitem Skalarprodukt oder in allen (axiomatisch definierten) dreidimensionalen euklidischen Geometrien betrachtest, ist das keine Gleichheit von Mengen mehr, sondern eine von echten Klassen.--Gunther 23:17, 11. Jul 2005 (CEST)

Hurra, jetzt hab ich dich: Da ist doch alles überhaupt keine Mathematik, weil es sich nicht im Rahmen von ZFC formulieren lässt!!! ;-) -- Peter Steinberg 00:55, 12. Jul 2005 (CEST)

Falsch. Man kann problemlos formulieren: "Für jedes Dreieck sind die Aussagen "rechtwinklig bei C" und "erfüllt a² + b² = c²" äquivalent." Nur Deine Mengenbildung geht schief, weil die Gesamtheit der Dreiecke keine Menge ist.--Gunther 09:11, 12. Jul 2005 (CEST)

Ok., dann ging mein Seitenhieb mal wieder ins Leere. Ehrlich gesagt habe ich nicht genügend Überblick über die axiomatische Mathematik, um richtig klar zu sehen, was "dreidimensionale reelle Vektorräume mit positiv definitem Skalarprodukt" genau genommen vom "" unterscheidet. Wenn in jenen die Dreiecke eine echte Klasse bilden, kann ich mir nicht recht vorstellen, dass die Formulierung "Für jedes Dreieck..." innerhalb ZFC "problemlos" ist. Ich vermute: Man formuliert eine Implikation mit freien Prädikatenvariablen und verzichtet auf die Quantifizierung. "Für jedes" ist also hier wieder mal metasprachlich. Aber konzentrieren wir uns lieber auf das, was an dieser Stelle entschieden werden muss:

Ich habe verstanden, dass ZFC bei äußerster Verallgemeinerung Theoreme zulässt, die sich nicht mehr als Gleichheit von Mengen (oder durch die Teilmengenrelation, darauf kommt es nicht entscheidend an) formulieren lassen. Trotzdem kannst du doch wohl nicht gut bestreiten, dass die Untersuchung von Mengen, ihrer Gleichheit und ihrer Teilmengeneigenschaft, zentraler Gegenstand der Mengenlehre sind. Darauf, so meine ich, muss hingewiesen werden, und zwar in diesem Artikel, der ja nicht die Kenntnis von ZFC und der ganzen Grundlagenproblematik voraussetzt. - Meinst du, dies bedenkend, immer noch dass der Satz (in seiner jetzigen Fassung) rausgenommen werden müsse? - Andernfalls würde ich versuchen, ihn durch ein Beispiel (es muss ja nicht der Pythagoras sein - hast du einen Vorschlag?) zu ergänzen. -- Peter Steinberg 23:50, 14. Jul 2005 (CEST)

Es macht keinen Unterschied, ob es um den oder einen einzelnen anderen dreidimensionalen euklidischen Vektorraum geht. Aber die dreidimensionalen euklidischen Vektorräume bilden eine echte Klasse, also auch die Gesamtheit der Dreiecke in ihnen.

Wann immer es um Mengen mit Strukturen geht, kann man die zugrundeliegende Menge durch eine beliebige gleichmächtige Menge ersetzen, und davon gibt es zu viele. Deshalb bilden Gruppen, Vektorräume, topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Graphen usw. keine Mengen, sondern echte Klassen, und dementsprechend kann man keine Aussage über alle Gruppen usw. als Gleichheit von Mengen formulieren. (Sobald es aber nur noch um Teilmengen einer festen Menge geht, ist alles problemlos, z.B.: "Für alle Vektorräume ist die Menge der maximalen linear unabhängigen Teilmengen des Vektorraumes gleich der Menge der minimalen Erzeugendensysteme.")

Aussagen über alle Mengen sind problemlos, weil der Allquantor sich stets auf alle Mengen bezieht. Eine Formel ist also erlaubt, während man nicht bilden darf, sondern immer nur . Du kannst natürlich dann den Umweg über gehen, aber das wirkt dann doch etwas unnötig umständlich auf mich. Implikationen und Äquivalenzen sind das fundamentale Konzept, nicht Teilmengenrelationen oder Gleichheiten von Mengen. Natürlich ist da eine enge Beziehung (und sie sollte auf jeden Fall ausführlich im Artikel stehen), aber zu den technischen Konsequenzen von Russells Paradoxon gehört eben, dass man auf der Seite der Mengen gewisse Abstriche machen muss.

Zu diesem Problemkreis gehört übrigens auch, dass die Teilmengenrelation keine Relation im dort definierten Sinne ist, denn dazu müsste sie auf einer Menge definiert sein.

Ein Bereich, der von diesen Fragen wenig betroffen ist, ist die Analysis, weil sie sich mit sehr konkreten Objekten wie dem und Funktionen auf offenen Teilen davon beschäftigt, das sind alles ganz konkrete Mengen.--Gunther 00:53, 15. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Symbol für die logische Äquivalenz

Ich finde, dass wir in diesem Artikel das Symbol für die logische Äquivalenz einheitlich bei belassen und nicht benutzen sollten. Um einem Gegenargument vorzubeugen: Der Unterschied zwischen den beiden Symbolen (semantische vs. syntaktische Äquivalenz) ist mir durchaus bewusst. Dieser Unterschied ist aber nur in der Logik wesentlich, weshalb in allen anderen Bereichen der Mathematik meines Wissens immer benutzt wird. Außerdem sollte dieser Artikel ein Übersichtsartikel über die Mengenlehre bleiben und deshalb insbesondere keine axiomatische (logische) Begründung vornehmen.--MKI 8. Jul 2005 12:35 (CEST)

Aber natürlich doch, da hab ich nicht aufgepasst. -- Peter Steinberg 8. Jul 2005 22:58 (CEST)

[Bearbeiten] Teilmenge

Vielen Dank an Gunther für die Überarbeitung. Sowas brauch ich: Leute die in allen Begriffen sattelfest sind und aufpassen, dass ich nicht schlampe!
Der Artikel Halbordnung allerdings ist in einem Zustand, dass kaum jemand ohne Kompass durchfindet, und dass Ordnungsrelation nichts weiter ist als ein Redirekt auf diesen Artikel, das ist schon ein Skandal! - So hat kein Nichtmathematiker, der auf den Begriff "Ordnungsrelation" gestoßen ist, die Chance, von wikipedia zu erfahren, worum es da eigentlich geht! -- Peter Steinberg 23:50, 14. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Wikipedia-Artikel sind keine Lehrbücher

Dieser Wikipedia-Artikel zum Thema Mengenlehre ist ein Musterbeispiel dafür, wie ein solcher Wiki-Artikel meines Erachtens _nicht_ aussehen sollte. Er beginnt mit Erklärungen zum Thema in natürlicher Sprache und endet in einem Wust von mathematischen Symbolen. Oder anders formuliert: Dieser Artikel liefert im ersten Teil (mehr oder weniger) allgemeinverständliche Erläuterungen zum Thema und gleitet zusehends in einen Lehrbuch-, zuletzt in einen reinen Formelsammlungs-Stil ab. Das ist schade. Lehrbücher und Formelsammlungen zu ersetzen sollte ein Enzyklopädie-Eintrag nicht trachten. Dafür sind Verweise und Links völlig hinreichend. (Man bilde mal interessehalber den Quotienten aus Buchstaben und mathematischen Symbolen dieses Artikels. Das Ergebnis kann für den Alltagsleser dieses Artikels nur unbefriedigend sein.) Weniger ist manchmal mehr. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Das finde ich vollkommen richtig, und deshalb habe ich es ja auch unternommen, den Artikel zu überarbeiten. Gekommen bin ich bis Punkt 2.4. (Findest du diesen Teil akzeptabel?) In den letzten Wochen habe ich einen langen Urlaub gemacht, nun soll es weitergehen (allerdings nicht mehr mit so viel Energie wie bisher.)

Der Schluss des Artikels (insbesondere die "Beispiele") ist m.E. nicht mal eine Formelsammlung, sondern ein Formelhaufen. Ich überlege, ob sich der Teil ganz auflösen und das Brauchbare daraus in die Unterpunkte zu 2. integrieren lässt. -- Peter Steinberg 22:18, 6. Sep 2005 (CEST)

"Findest du diesen Teil akzeptabel?" -- Das ist der weitaus beste Teil des Artikels, deshalb habe ich ihn soweit wie möglich sprachlich "verfeinert" (siehe oben: "Überarbeitung der Geschichte der Mengenlehre"). Hoffentlich kannst Du nochmals zu Deinem alten Überarbeitungs-Schwung zurückfinden! Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

So könnte man sich Wikipedia auch sparen. Derartig habe ich das schon selbst in der Schule nicht verstanden und finde es in jedem Mathebuch genauso unverständlich und stehe jetzt bie meinem Sohn vor dem gleichen Problem. Was bedeuten die Hieroglyphen? Kann man das in normale deutsche Sprache übersetzen. Dass Schüler die mathematische Sprache erst beigebracht bekommen sollen verstehen die Lehrer nicht und offenbar auch der Autor des Artikels (ulrichpoess@aol.com)

[Bearbeiten] Verwendung von Symbolen

Warum wird eine unterschiedliche Form der Notation für "Komplement" in diesem Artikel verwendet, als im Artikel "Komplement (Mengenlehre)"?

[Bearbeiten] == Gliederung ==

Macht es bei einem Mathematik-Artikel nicht Sinn, erst die Definitionen und dann die Geschichte zu beschreiben? So suche ich doch nur länger nach dem, was ich eigentlich haben will. Nebenbei: der Artikel scheint etwas weitschweifig zu sein. --Smeyen Disk 19:34, 4. Jan 2006 (CET)

Dieser sehr grundlegende Begriff lässt sich kaum unabhängig von seiner Geschichte definieren. (Mathematik ist halt eine Geisteswissenschat!). Das, was man allenfalls als "Definition" voranstellen könnte, steht dann bei "Geschichte" ganz vorn dran.--

"Weitschweifig" erscheint der Artikel vielleicht, wenn man nicht weiß, welche heillosen Kontroversen (bis hin zu einer "Grundlagenkrise der Mathematik") die Begriffsbildung ausgelöst hat. ~~ Peter Steinberg 01:11, 18. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Danke

Ich danke den beteiligten wikis für ihre Nacharbeit, für die Verbesserung von (ach so blöden!) Schreibfehlern und für ihre Präzisierungen. Eine weitere Überarbeitung (ab "Differenz und Kompliment"), insbesondere eine Auflösung des "Formelhaufens" am Ende, kann ich in absehbarer Zeit nicht leisten. ~~ Peter Steinberg 01:18, 18. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Toter Weblink

Welchen Zusammenhang hatte der Link zum Artikel? Wenn ich auf Archive.org gehe, sehe ich keinen Zusammenhang. --vmk 02:35, 23. Jan 2006 (CET)

Bei mehreren automatisierten Botläufen wurde der folgende Weblink als nicht verfügbar erkannt. Bitte überprüfe, ob der Link tatsächlich down ist, und korrigiere oder entferne ihn in diesem Fall!

• http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306
  • In Mengenlehre on Thu Jan 12 11:29:39 2006, 404 Not Found
  • In Mengenlehre on Thu Jan 19 13:19:25 2006, 404 Not Found

--Zwobot 13:19, 19. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] "Summe"

Scheint mir gefährlich, weil diese Bezeichnung heute oft auch für die disjunkte Vereinigung benutzt wird (z.B. hier fast ganz unten).--Gunther 12:06, 19. Feb 2006 (CET)

Könnte bitte einer, der sich auskennt, die Schrift ein wenig verbessern, die ist auf höherer Auflösung kaum zu lesen....

Das kannst und musst Du an Deinem Browser einstellen.--Gunther 20:33, 10. Mai 2006 (CEST)

Die „disjunkte Vereinigung“ war mit noch nicht untergekommen, vielen Dank für den Hinweis. Die erste Definition meine ich sofort verstanden zu haben: Danach wäre es einfach eine Vereinigung disjunkter Mengen. Aber sicher habe ich den tiefen Sinn dieser Begriffsbildung noch nicht erfasst. Da hier eine Gefahr zu liegen scheint, habe ich mal eine Warnung im Text angebracht... -- Peter Steinberg 00:12, 11. Mai 2006 (CEST)

Ich hab disjunkte Vereinigung ein bisschen erweitert. Mir fällt nur kein richtig überzeugendes Beispiel ein. Die Motivation ist in etwa die folgende: Wenn man zwei Kopien vor irgendwas will, kann man nicht nehmen, weil das einfach wieder ist, das richtige Konzept ist .--Gunther 00:26, 11. Mai 2006 (CEST)

Seit wann werden "Kopien" in der Mengenlehre verwendet ? Das richtige Konzept ist, diesen Begriff gar nicht erst in die Mengenlehre einzuführen versuchen. (Ich könnte mich andernfalls hingerissen fühlen, den "Begriff" der "Spiegelmenge" in die Mengentheorie einzuführen.) Ich hoffe, jeder Leser hat den Unfug verstanden. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (24062006)

Zu Deiner Frage: Ich bin leider in der geschichtlichen Entwicklung der mathematischen Fachsprache nicht so bewandert, dass ich das beantworten könnte. Ist jedenfalls eine Standardformulierung.--Gunther 10:50, 24. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Layout

Hi, ich hab gerade im Artikel etwas gestöbert. Dabei fiel mir auf, dass der Artikel irgendwie unübersichtlich ist. Die Gliedeerung ist zwar gut, aber durch den meiner Meinung nach sehr starken gebrauch von fettgeschriebenen Text findet man sich nur schwer zurecht. Wäre es nciht besser die einprägsammen Definitionen z. B. der Schnittmenge kursiv und fett zu schreiben? So fallen die Sätze zwar auf, grenzen sich aber wenigstens etwas besser gegenüber den Abschnittsüberschriften ab. --Cepheiden 22:37, 29. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Wird Mengenlehre noch in der Schule unterrichtet?

Und und welchen Bundesländern?

In Bayern und den meisten anderen Bundesländern. (In Berlin und Hamburg nicht.) Grund: Wer zwei verschiedene Dinge unterscheiden kann, der/die wird nicht so schnell drei verschiedene Dinge gleichsetzen. (Beispiel: Unterscheiden Sie die Begriffe 'Rot' -- '17' -- 'relakt') Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (25032007)

[Bearbeiten] Die Darstellung der symmetrischen Differenz ist falsch

Korrekt ist die Definition (ADB := ...), nicht aber die nach dem Gleichheitszeichen folgende Formel. Im Spezialfall B=A ergibt die Definition die leere Menge, die Formel aber A. Zudem erzeugt die Symmetrische Differenz eine abelsche Gruppe mit selbstinversen Elementen (ADA = Einheitselement leere Menge, vergleichbar a-a=0), was die Formel aus dem gleichen Grund nicht hergibt. IMHO sollte die Formel zwar als „Anmerkung“ Erwähnung finden sollte, jedoch unter eindeutigem Hinweis auf ihre Problematik (bei A=B bzw. in der Gruppentheorie) – sozusagen als „False Friend“ oder böse Falle. Br 17:05, 26. Nov. 2006 (CET)

Hallo, ich kann deiner Anmerkung nicht ganz folgen. Die Definition ist richtig. Meinst du die Formel ? Diese ist auch korrekt und liefert für A=B die leere Menge (was ja stimmt). Gruß, Wasseralm 19:20, 26. Nov. 2006 (CET)

Du hast recht - ist habe mich gedanklich verlaufen. Ich ziehe den Beitrag zurück. Br 23:03, 26. Nov. 2006 (CET)