Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

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Auf welchen zusätzlichen Axiomen baut sie auf?

Auf den bekannten 10 ;-)

Momentan kann ich mir nicht so viel darunter vorstellen ... --zeno 01:33, 14. Mai 2003 (CEST)

'Präzisiert' war hochgestapelt. Ich habe den Artikel aber auf meiner Liste. Hoffentlich kommt mir keiner zuvor ;-). Heizer 17:17, 14. Mai 2003 (CEST)

Hab eine Liste der Axiome reingestellt, die Axiome selbst erstmal noch nicht. Der Noch-Selbstlink auf Axiomatische Mengenlehre ist beabsichtigt: Da soll en:Axiomatic set theory rein, ein Artikel der sich allgemeiner mit der (Geschichte der) Axiomatisierung der Mengenlehre beschaeftigt, im Gegensatz zu diesem, der speziell die heutige Form der Zermelo-Fraenkelschen beschreibt. --SirJective 12:53, 13. Jan 2004 (CET)

zu "Axiom der leeren Menge": man muss zusätzlich fordern, dass B nicht-leer ist oder dass B ungleich der leeren Menge ist, weil die leere Menge Teilmenge aller Menge ist, also eben auch der leere Menge (vgl. "Extensionalitätsaxiom").

Mir scheint, du verwechselt die Element-Beziehung mit der Teilmengen-Beziehung. Keine Menge B soll Element der leeren Menge sein (das besagt das Axiom), aber natürlich ist die leere Menge eine Teilmenge der leeren Menge. Lass dich auch nicht davon verwirren, dass alles Mengen sind - in ZF gibt es nur Mengen, keine so genannten Urelemente. --SirJective 17:36, 4. Jan 2005 (CET)

Warum wird diese Seite bei den Suchen nach "Zermelo", "Zermelo-Fraenkel" und "ZFC" nicht gefunden?

Weil die genannten Titel nicht als eigene Seiten existieren und die Suchfunktion eingeschränkt oder abgeschaltet ist. Einige der genannten Titel habe ich jetzt als Weiterleitungsseiten angelegt. --SirJective 13:51, 27. Mär 2005 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

1 Formel für Auswahlaxiom
2 Eindeutigkeit
3 Verhältnis zur Prädikatenlogik
- 3.1 Axiomenschemata
4 Ersetzungsaxiom
5 Sonderrolle des Auswahlaxioms
6 Eine Anmerkung:
7 Unterscheidung Notation
8 Paarmengenaxiom (erledigt)
9 Klammersetzung u. .a
10 Klammersetzung 2
11 konsequente prädikatenlogische Formulierung
12 Historisches

[Bearbeiten] Formel für Auswahlaxiom

Ich denke, wir sollten in diesem Artikel auf die Monsterformel fürs Auswahlaxiom verzichten, und diese Formel ggf. nach Auswahlaxiom verschieben. Hier sollten die beiden natürlichsprachlichen Formulierungen reichen. --SirJective 17:07, 20. Mai 2005 (CEST)

Nee, wir sollten schon so konsistent sein und zu jedem Axiom die prädikatenlogische Formel hinschreiben. Es gibt sicher eine kürzere Version, evtl. entsprechend einer anderen Formulierung des Auswahlaxioms. Ich habe leider (noch) nicht genug Ahnung, um das zu machen, aber ich könnte es verifizieren. --Coma 19:39, 20. Mai 2005 (CEST)

Gut, lassen wir hier eine Formel stehen. Dann braucht aber der Auswahlaxiom-Artikel selbst auch eine! :) Ich hab mal nach verschiedenen Formulierungen des AC geschaut, aber keine gefunden, die elegant ist und gleichzeitig nur mit der Sprache $\{\wedge, \vee, \Rightarrow, \lnot, \forall, \exists, \in\}$ auskommt.

Wenn wir aber schon die definierten Symbole $\emptyset, \cup, =, \exists!, \{x\}$ in den Axiomen verwenden, könnten wir doch eigentlich auch die Symbole $\cap, \subset$ definieren und verwenden, oder? Dann könnte man AC nämlich so schreiben:

$\forall A : ((\emptyset \notin A \wedge \forall X : \forall Y : X \in A \wedge Y \in A \Rightarrow X \cap Y = \emptyset)$

$\Rightarrow \exists B : (\forall X : X \in A \Rightarrow \exists! Y : Y \in X \cap B))$

Und wenn wir uns noch die (bisher nicht verwendeten) Definitionen

$(\forall A \in B : \phi) :\Leftrightarrow (\forall A : A \in B \Rightarrow \phi)$

$(\exists A \in B : \phi) :\Leftrightarrow (\exists A : A \in B \wedge \phi)$

erlauben, dann reduziert sich das zu:

$\forall A : ((\emptyset \notin A \wedge \forall X \in A : \forall Y \in A : X \cap Y = \emptyset) \Rightarrow \exists B : (\forall X \in A : \exists! Y: Y \in X \cap B))$

Wenn du aber ganz ohne definierte Symbole auskommen wolltest, dann müsstest du strenggenommen auch auf die Symbole $\emptyset$ und = verzichten. Die Frage ist also, welche definierten Symbole wollen wir verwenden? --SirJective 23:25, 20. Mai 2005 (CEST)

Ja, da sollten wir konsitent sein! Evtl. könnte man auch kurz vor der Formel "Abkürzungen" definieren und die dann in der Formel verwenden. Das "=" wird in der Prädikatenlogik oft explizit spezifiziert (ich halte es für überflüssig, dess es ist ja auch nur ein Prädikat). Auch die Implikation und die Äquivalenz sind strenggenommen unnötige Abkürzungen. Mit NAND kann kann man glaube sogar auf UND, ODER und NICHT verzichten. Problematisch an Mengenoperatoren wie $\cup,\cap$ ist, dass man eigentlich erst axiomatisch festlegen will, was Mengen überhaupt sind, bzw. was man mit ihnen machen kann. Erst dann folgt der Schritt Mengenoperationen zu definieren. In sofern ist es legitim alle möglichen logischen Ausdrücke zu benutzen. Mengenoperationen sollte man aber besser weglassen. = und $\emptyset$ kann man aber verwenden, weil sie schon in den ersten beiden Axiomen definiert werden. --Coma 11:37, 22. Mai 2005 (CEST)

Die Zeichen "=" und emptyset werden durch zwei Axiome definiert. "{x}" und "A u B" werden noch nicht definiert, aber im Unendlichkeitsaxiom verwendet. Ich denke, dass eine Formulierung dieses Axioms ohne diese beiden Abkürzungen recht unhandlich wird. Da im Absatz über das Aussonderungsaxiom aber die Schreibweise "{C in A | P(C)}" eingeführt wird, können wir genauso in den beiden anderen Axiomen die Schreibweisen "{A,B}", "{A} := {A,A}" und "bigcup A", sowie als Kombination der beiden die Schreibweise "A cup B := bigcup {A,B}" einführen. Damit hätten wir das Unendlichkeitsaxiom auf sicherem Boden. Zusätzlich könnten wir an geeigneter Stelle definieren "A cap B := {x in A | x in B}". Diese Mengenoperationen sind doch nur abkürzende Schreibweisen für die Mengen, deren Existenz von einem bestimmten Axiom und deren Eindeutigkeit vom Extensionalitätsaxiom gesichert wird. Die Schreibweise "forall A in X : phi" hat dagegen mit den Axiomen der Mengenlehre gar nichts zu tun, sondern ist eine rein (formal-)sprachliche Definition.

Mit NAND kann man (klassische Logik vorausgesetzt) alle anderen logischen Junktoren darstellen, ebenso wie man exists und exists! durch forall und Junktoren ausdrücken kann. Aber ich denke, auf diese Symbole - die ja bereits in der als gegeben vorausgesetzten Logik definiert werden - sollten wir nicht verzichten. Mit dem "=" ist das so eine Sache (jetzt erzähl ich, was ich von meiner Modelltheorie-Vorlesung behalten hab):

Das "=" ist eigentlich nicht Teil der reinen Prädikatenlogik, weil es keine (logischen) Formeln vergleicht, sondern Terme. In Termen können Zeichen v_i für Variablen, r_i für Relationen, f_i für Funktionen und c_i für Konstanten auftreten; man erhält so eine Prädikatenlogik über einem Alphabet {v_i, r_, f_i, c_i}. Oft lässt man "=" als Äquivalenzrelation zu, ohne sie als eines der r_i aufzuführen.

In unserem Fall der Mengenlehre brauchen wir eigentlich nur das Alphabet {v_i, in}, und wir definieren im Extensionalitätsaxiom eine neue Relation, die wir mit "=" bezeichnen - von der wir nun aber zeigen müssten, dass sie eine Äquivalenzrelation ist. Wir könnten aber auch so vorgehen, dass wir "=" als Äquivalenzrelation vorgeben, und mit dem Extensionalitätsaxiom nur eine Eigenschaft der "in"-Relation festlegen. Letzteres scheint mir sinnvoller zu sein - wir setzen voraus, dass zwei Mengen (egal was Mengen sind!) entweder gleich oder ungleich sind, und dieses Axiom gibt uns ein Mittel, herauszufinden, welche dieser beiden Möglichkeiten vorliegt.

Zusammenfassend lautet mein Vorschlag: Sauber definieren, welche Sprache wir für unsere Prädikatenlogik verwenden, und bei jedem Axiom die definierten Konstanten und Relationen als Definition benennen. Z.B. lautet das Axiom der leeren Menge dann $\exists A \forall B : \lnot(B \in A)$ , und wir stellen dann fest, dass es genau eine Menge A mit dieser Eigenschaft gibt, und wir diese fortan emptyset nennen. Ebenso wie wir nach Angabe des Paarungsaxioms feststellen können, dass es für alle Mengen A und B genau eine Menge C mit der genannten Eigenschaft gibt, und wir diese Menge "{A,B}" nennen.

--SirJective 13:33, 22. Mai 2005 (CEST)

Ja, so sollte es sein! --Coma 01:34, 23. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Eindeutigkeit

Bei den Existenzbehauptungen in diesem Artikel wird die Frage der Eindeutigkeit nicht konsistent behandelt. Ich versuche mal, das in Ordnung zu bringen, und hoffe, dass mir kein Irrtum passiert. -- Peter Steinberg 01:00, 19. Jun 2005 (CEST)

Man sollte Umschreibung, Formeldefinition und Kommentar klarer trennen.--Gunther 02:12, 19. Jun 2005 (CEST)

Gunthers Hinweis hab ich nicht rechtzeitig gelesen. Irgendwie hab ichs trozdem hoffentlich geschafft bis zum Potenzmengenaxiom. Bei Regularitätsaxiom weiß ich zzt. überhaupt nicht, ob das postulierte B eindeutig sein soll.

Soll nicht eindeutig sein, z.B. ist $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ zu seinen beiden Elementen jeweils disjunkt.--Gunther 02:46, 19. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Verhältnis zur Prädikatenlogik

Bei den drei folgenden Axiomen ist bisher nicht erkennbar, was unter "Prädikat" verstanden werden soll. Irgendwie wird unausgesprochen eine Prädikatenlogik zu Grunde gelegt. (Natürlich auch schon durch die Verwendung der Quantoren.) -- Peter Steinberg 02:26, 19. Jun 2005 (CEST)

"Sie baut auf den Axiomen der Aussagenlogik und Prädikatenlogik [...] auf"--Gunther 02:58, 19. Jun 2005 (CEST)

Ok, ich hatte wieder mal nicht gründlich genug gelesen. Trotzdem: Auf "der" Prädikatenlogik also. (Die Aussagenlogik gehört hier raus, weil die Pr.L. eine Erweiterung davon ist.) Aber was für eine Prädikatenlogik? - Der Abschnitt Prädikatenlogik bei wikipedia bezeichnet das Wort als synomym zu "Logik erster Stufe" (ein Begriff den ich so nicht kenne). Später in den Artikel heißt es: "Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe", was ok ist. Dann heißt es aber: Es "…lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren...", und da habe ich erhebliche Zweifel, wenn die ZF-Mengenlehre gemeint sein sollte. Denn im Aussonderungsaxiom heißt es "Zu jeder Menge A und jedem einstelligen Prädikat P existiert…" Genau das lässt sich in einer Prädikatenlogik erster Stufe nicht formulieren. Ähnlich ist es mit "jede Abbildung f..." beim Ersetzungsaxiom. (Da steht verschleiernd "eine Abbildung f..."; gemeint ist offenbar eine beliebige, also jede.) In unserer Formalisierung sind die Quantoren dann einfach weggelassen.
Mir scheint eher, dass ZF eine typenfreie Prädikatenlogik verwendet: Es gibt keine Unterscheidung von "Urelementen", Mengen von solchen, Mengen von solchen Mengen usf. (So auch schon SirJective auf dieser Diskussionsseite am 4. Jan 2005.) -- Peter Steinberg 22:42, 24. Jun 2005 (CEST)

"Jedes Prädikat" muss nicht formalisiert werden, weil es sich um ein Axiomenschema handelt: für jedes Prädikat ein Axiom. (Aber ich weiß nicht, wovon ich hier rede, man möge mich korrigieren.) Und ja, ZF ist typenfrei.--Gunther 22:50, 24. Jun 2005 (CEST)

Nachtrag: Inzwischen weiß ich's genauer: ZF ist "typenfrei" in dem Sinne, wie das oben beschrieben ist, aber die zu Grunde liegende Prädikatenlogik ist von 1.Stufe, d.h. es wird nur über Objekte (also Mengen) quantifiziert, nicht über Prädikate diese Mengen. Hab das im Text wieder in Ordnung gebracht. -- Peter Steinberg 22:30, 7. Sep 2005 (CEST)

Einverstanden: Das muss nicht formalisiert werden. - Wovon die redest: Von einem Schema, das "für alle" Prädikate gilt, ohne dass dieses "für alle" innerhalb des (typenfreien) logischen Systems formalisiert ist. Das könnte geschrieben werden:

$\forall P \,\bigwedge_{A} \bigvee_{B} \bigwedge_{C} \, C \in B \iff \left( C \in A\right) \and P(C)$

(Um ein bisschen zu stänkern: Du redet häufig auch über natürliche Zahlen, ohne dass diese Zahlen…) -- Peter Steinberg 23:53, 24. Jun 2005 (CEST)

Das "für alle" im Aussonderungsaxiom ist sozusagen metalogisch - zähle alle einstelligen Prädikate auf und schreibe für jedes ein Axiom hin. Innerhalb von ZF ist es eigentlich egal, wie man an "all diese" Prädikate herankommt, um die Axiome hinzuschreiben - die Axiome sind einfach da. Aber es sollte in der Erklärung dieses Schemas schärfer unterschieden werden, was genau die Axiome sind, in etwa so:

Ein Axiomenschema, das zu jedem einstelligen Prädikat P das folgende Axiom enthält: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge von A die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Analog sollten auch die Ersetzungsaxiome umformuliert werden.

Peter, du hast da diese Unterscheidung zwischen forall und bigwedge in der Formel, die mir immer noch nicht so ganz klar ist (wie du vielleicht schon an anderer unpassender Stelle bemerkt hast) :) Anscheinend meinst du das forall "außerhalb" und das bigwedge "innerhalb" der betrachteten Logik. Diese Unterscheidung würde dann hoffentlich auch in meiner Formulierung zum Ausdruck kommen. --SirJective 13:37, 25. Jun 2005 (CEST)

Richtig, genau so meine ich's, und dabei beziehe ich mich auf die Diskussion über Quantoren auf der Diskussionsseite des Portals. Ich will aber keinesfalls vorschlagen, dies auf der Artikelseite so umzuformulieren. SirJectives Formulierung finde ich völlig in Ordnung, ich hoffe, er setzt sie um (sonst tu ichs gelegentlich). Nur für unsere interne Diskussion wollte ich festhalten, dass wir ohne Metasprache nicht auskommen und dass wir auch in dieser Quantoren brauchen (und, auch wenn Gunther es vorläufig noch nicht glauben will, auch natürliche Zahlen.) -- Peter Steinberg 21:05, 25. Jun 2005 (CEST)

For the record: Ich bestreite auch die Notwendigkeit von Quantoren auf dieser Ebene.--Gunther 21:13, 25. Jun 2005 (CEST)

Dann musst du schleunigst die letzten Änderungen reverten, denn da steht: "zu jedem einstelligen Prädikat P" und "für jedes zweistelliges Prädikat P", und du kannst doch schlechterdings nicht bestreiten, dass das Quantoren sind! ;-) -- Peter Steinberg 22:57, 26. Jun 2005 (CEST)

Für mich ist das gewöhnliche Sprache. Wenn Du das Quantoren nennen willst, meinetwegen. Es ist nur etwas völlig anderes als die $\forall$ s, die in den Axiomen stehen.--Gunther 23:15, 26. Jun 2005 (CEST)

Meine Rede! Quantoren in axiomatischen Systemen sind etwas völlig anderes als metasprachliche Quantoren. Die Metasprache ist "ganz normale Sprache". Übrigens ist "eins, zwei drei!" auch ganz normale Sprache. -- Peter Steinberg 00:00, 28. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Axiomenschemata

@ SirJective: Das Aussonderungsaxiom ist m.E. jetzt völlig in Ordnung. Langsam kommt Stil in die Sache! Vor allem die Angabe der Notation trägt viel dazu bei, dass die Intention dieses Axioms klar wird.

Ich versteh allerdings nicht, warum du beim Ersetzungsaxiom die Sache weitgehend wieder zurückgenommen hast. Ich denke, deine Version von 14:26 war ziemlich o.k.! Die linke Seite kann entfallen, wenn gesagt wird, dass das Axiomenschema für jede Abbildung P das Axiom $\forall A : \exist B : \forall C : C \in B \iff \exist D : D \in A \and P(D, C))$ enthält. Was eine Abbildung ist, muss hier nicht in eine Prämisse reinfomuliert werden, denn es lässt sich vollständig in der Prädikatenlogik formulieren, die ZFC vorgeschaltet ist. In der umgangssprachlichen Paraphrasierung sollte der Begriff allerdings erläutert werden, wie du es ja auch beibehalten hast. (Nur sollte man die Abbildung hier nicht auf einmal f statt P nennen - der einzige Verbesserungsvorschlag, den ich zu der Version von 14:26 habe.)

P ist im Ersetzungsaxiomenschema ein Zeichen für eine beliebige Abbildung, genauso wie es im Aussonderungsaxiomenschema ein Zeichen für ein beliebiges einstelliges Prädikat ist. Auch das wird als solches hier nicht definiert. - Da fällt mir noch auf: Vielleicht ist es doch besser, dafür zwei verschiedene Buchstaben zu verwenden? Also für die Funktion vielleicht (durchgehend!) F? -- Peter Steinberg 22:49, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich hab mir die (lange) Diskussion zum en:Axiom schema of replacement durchgelesen, wo ebenfalls die Frage aufkam, wie diese Axiome formuliert werden sollten: Vermutlich sollten wir uns einfach an der einschlägigen Literatur orientieren. Ebbinghaus, Flum, Thomas, Einführung in die mathematische Logik formuliert für jedes (n+2)-stellige Prädikat ein Axiom, das als Vorbedingung die Eindeutigkeit des (n+2)-ten Arguments bei Vorgabe der ersten n+1 Argumente hat, wobei die ersten n Argumente als Parameter und das (n+1)-te als eigentliches Funktionsargument aufgefasst wird. Modulo der Parameter entspricht das also der wiederhergestellten Version.

Das Ergebnis beider Varianten ist praktisch dasselbe - in der Version mit Vorbedingung hat man nur einen Haufen zusätzlicher Axiome, die aufgrund der unerfüllten Prämisse überflüssig sind. Um eines der Axiome anzuwenden, muss man aber so oder so diese Vorbedingung prüfen - entweder um zu sehen, dass das Axiom existiert oder um eben die Prämisse als erfüllt zu erkennen.

Die prämissenlose Version hat also den Vorteil, dass die sowieso (wegen der falschen Prämisse) erfüllten Aussagen nicht als Axiom betrachtet werden, die Version mit Prämisse hat den Vorteil, dass man einfach sagen kann, man hat "für jedes zweistellige Prädikat" ein Axiom. Ich bin da also eigentlich unentschieden.

Die Mischung von f und P innerhalb der Beschreibung des Axiomenschemas gefällt mir auch nicht, aber "P(X,Y)" und "f(X)" ist ja leider was anderes. Erst "Y=f(X)" entspricht "P(X,Y)" - auf der genannten englischen Seite und auch oben auf dieser Seite sind einige Punkte zu "Definitionserweiterungen" angesprochen worden, die ich bisher in de-WP noch nicht gesehen habe. --SirJective 23:16, 26. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Ersetzungsaxiom

Beim zweiten Hindenken kommen mir erhebliche Zweifel an "deiner" Definition einer Abbildung: $(\forall X:\exists! Y:P(X,Y))$ ? - Heißt das, dass eine Abbildung auf allen Objekten von ZFC definiert sein muss? Das bringt doch keinen Sinn, selbst wenn en:Functional predicate es ähnlich formuliert. - Ich meine, die Definition einer Abbildung müsse heißen (etwas salopp hingeschrieben): $\forall X, Y, Z:P(X,Y)\land P(X,Z)\Rightarrow Y = Z$

Ich bin nach wie vor sehr dafür, die Prämisse weg zu lassen: Sie stört die Systematik (was sich in der Prädikatenlogik formulieren lässt, gehört nicht in ZFC!), verschlechtert die Lesbarkeit (Bandwurm...) und die Verstehbarkeit (das $\exists !$ ist hier nicht definiert, und eine Definition ist schwer auffindbar).

Außerdem scheint mir, dass $\{ f(D) | D \in A \}$ durch P allein noch gar nicht eindeutig bestimmt ist, sondern von A abhängt.

Ich versuch jetzt mal eine Umformulierung; ändere sie, wenn sie falsch ist. Sie erklärt auch, wie ich das mit den P und F gemeint habe. -- Peter Steinberg 00:00, 28. Jun 2005 (CEST)

Mit der angekündigten Umformulierung bin ich heute morgen doch nicht mehr zu Rande gekommen, und inzwischen hat SirJektiv das Axiom noch mal überarbeitet. Trotzdem sind die Probleme, die ich genannt habe, m.E noch nicht gelöst. Bitte prüft doch mal meinen jetzt gleich eingestellten Vorschlag. -- Peter Steinberg 23:39, 28. Jun 2005 (CEST)

"Für alle Prädikate" ist nicht Teil der Axiome, sondern nur eine Regel, wie die Axiome zu erzeugen sind.
Die "Abbildungen" sind keine Abbildungen im Sinne von Abbildung (Mathematik) und auch keine Relationen im Sinne von Relation (Mathematik).
"wird gewöhnlich als Y=F(X) geschrieben": Das wird hier nicht verwendet (und soweit mir bekannt auch in keinem anderen WP-Artikel).

--Gunther 23:56, 28. Jun 2005 (CEST)

Darf ich noch einmal darum bitten, die einschlägige Literatur zu Rate zu ziehen? Das Vorgehen des einen Logik-Buchs in meinem Besitz habe ich oben schon genannt. Wenn wir die Prämisse "weglassen", dann müssen wir sie trotzdem im Vor-Satz nennen - es geht also nur darum, wo wir diese Prämisse nennen.

"was sich in der Prädikatenlogik formulieren lässt, gehört nicht in ZFC" - Ich dachte, Prädikatenlogik wäre ein Teil von ZFC? Meinst du, wir sollten die "Auswahl" der gewünschten Prädikate "metalogisch" vornehmen (außerhalb der Prädikatenlogik von ZFC)?

Gunthers Bemerkungen zur letzten Änderung schließe ich mich voll an: Wir haben es nicht mit Abbildungen (= spezielle Mengen) zu tun, sondern mit zweistelligen Prädikaten. --SirJective 11:36, 29. Jun 2005 (CEST)

Nachtrag: Diese prädikatenlogischen "Abbildungen" sind auf dem gesamten Mengenuniversum definiert. Eine einfache Möglichkeit, z.B. die Nachfolgerrelation $s(X,Y)\equiv Y = X \cup \{X\}$ von IN auf das Universum fortzusetzen wäre:

$s'(X,Y)\equiv (X \in \mathbb{N} \wedge Y = X \cup \{X\}) \vee (X \notin \mathbb{N} \wedge Y = \emptyset).$

Dabei ist der Term " $X \in \mathbb{N}$ " nur eine sprachliche Abkürzung für den korrekten, aber deutlich längeren, ZFC-Term. Natürlich könnte man s auch unverändert von IN auf das gesamte Universum ausdehnen, aber es mag durchaus Prädikate geben, wo der gezeigte "Trick" notwendig ist. --SirJective 12:26, 29. Jun 2005 (CEST)

Mir scheint, wir diskutieren hier über keine grundlegenden Fragen.

sind Abbildungen spezielle Mengen oder spezielle zweistellige Prädikate? - Wer tiefer einsteigt, findet: Es sind Mengen, weil extensional zu verstehen, o.k. Die Einführungssätze von Abbildung (Mathematik) und Relation (Mathematik) deuten eher auf Prädikate hin. SirJectives Formulierung sprach von "prädikatenlogischen Abbildungen". Was soll das sein? In der Prädikatenlogik (ohne ZFC) lassen sich Mengen gar nicht formulieren; in ZFC sind "Abbildungen" noch nicht definiert. Ich habe eine Formulierung vorgeschlagen, die Abbildungen als spezielle zweistellige Prädikate einführt, um diesem Dilemma zu entgehen.
Die Prädikatenlogik ist Teil von ZFC in dem Sinne, dass es Grundlage von ZFC ist. Sie kann ohne den Mengenbegriff existieren, aber nicht umgekehrt. Ich denke, es ist guter Stil, wenn Definitionen, die ohne den Mengenbegriff auskommen (z.B. "Abbildungen" in dem Sinne, wie ich sie hier verwenden wollte), bei der Formulierung des "eigentlichen" ZFC nicht formal wiederholt werden, sondern auf das bereits Formulierte Bezug genommen wird.
Wir haben ja die Prädikatenlogik (obschon "Teil" von ZFC) mit guten Gründen nicht in diesen Artikel aufgenommen. ((Leider ist sie als typenfreie Prädikatenlogik auch sonst in wikipedia nicht formuliert.)) Deshalb halte ich es für angemessen, die dort schon formulierbaren Prämissen hier umgangssprachlich (metasprachlich) einzuführen. Dass sie - so oder so - gebraucht werden, ist natürlich klar. Ebenso klar ist, dass auch die Prädikatenlogik ein axiomatische Theorie ist, dass es also prinzipiell möglich ist, alles zusammen zu formalisieren.
Sicher ist es möglich, jede Abbildung auf dem gesamten "Mengenuniversum" zu definieren. Aber was bringt das? Welche zusätzliche Erkenntnis fließt aus so grauenhaft vielen leeren Mengen, deren Existenz auch noch axiomatisch postuliert werden muss? - Ich finde meinen Ansatz menschenfreundlicher, sachdienlicher und nicht weniger präzise.

Ihr habt gemerkt, dass es mir wesentlich darum geht, diesen Artikel zugänglicher zu machen. Aber, wie gesagt, um Grundsätzliches geht es m.E. nicht. Mit diesem Hinweis möchte ich das Lemma dem Rest der community (insbesondere Gunther und SirJective) überlassen. Ich werd mich vielleicht irgendwann nochmal zum Thema Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Sonderrolle des Auswahlaxioms oder sonst zur Strukturierung der Axiome einmischen.

Ich gebe zu, der Begriff "prädikatenlogische Abbildung" ist meine Erfindung, in Unkenntnis des korrekten Begriffes. Ich meine damit das, was wir alle hier haben wollen: Eine bestimmte Art von zweistelligem Prädikat. :) Ich denke auch, Gunther ist vor allem auf den Link auf "Abbildung (Mathematik)" angesprungen. Diesen Punkt habe ich (vorläufig) im Artikel klargestellt.

Mit meiner Forderung nach der Existenz von genau einem anstelle von höchstens einem "Funktionswert" halte ich mich an die Version der englischen WP und die von Ebbinghaus. Die Abbildungen in deiner Deutung wären partielle Abbildungen. Das wäre für mich eigentlich kein Problem, da es sich ja eh nicht um Funktionen im ZF-Sinne handelt, aber es entspricht eben nicht der Darstellung in der mir bekannten "Literatur" (wenn man bei einem Buch schon von Literatur sprechen kann *g*).

Wie ich oben schon schrieb, halte auch ich es für geschickter, die Begriffe, die benötigt werden, gleich zu erklären, sobald sie erklärt werden können. Für rein prädikatenlogische Begriffe, wie eben die Abbildung oder den "exists!"-Quantor, wäre damit der richtige Ort oberhalb aller ZFC-Axiome.

--SirJective 17:20, 30. Jun 2005 (CEST)

Ich sehe, wir sind hier sehr nahe beeinander. - Ich kann es nicht lassen und habe eben noch eine Änderung vorgenommen, die ihr bitte als Vorschlag auffasst. Ich finde sie allerdings ziemlich gut:

Ein Prädikat "ist" keine Abbildung, aber es "repräsentiert" eine Abbildung, nämlich modulo extensionaler Gleichheit;
Die Frage der "Definition auf dem gesammten Universum" muss an dieser Stelle nicht geklärt werden.
Die Darstellung ist knapp und nicht komplizierter als unbedingt nötig, und trotzdem, so meine ich, fehlerfrei. -- Peter Steinberg 2. Jul 2005 22:22 (CEST)

[Bearbeiten] Sonderrolle des Auswahlaxioms

Ich fände es besser, das Auswahlaxiom und dessen Äquivalente, die ja später hinzugenommen wurden, auch im Text erkennbar abzugrenzen. Nicht ohne Grund wird ja unterschieden zwischen ZF und ZFC. -- Peter Steinberg 23:14, 24. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Eine Anmerkung:

Wer diese Seite versteht, braucht sie eigentlich nicht! Das Beispiel (zum Fundierungsaxiom): $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ ist zu seinen beiden Elementen jeweils disjunkt. So etwas gehört in den Text! Und es sollten noch mehr Beispiele sein. Aber ich möchte so als Neuling auch nicht direkt als Vandale den Text ändern.

-- Peter Niessen 4. Jul 2005 03:54 (CEST)

Bis auf Regularitäts- und Auswahlaxiom geht es ja darum, dass gewisse Konstruktionen "erlaubt" sind. An welche Art Beispiel denkst Du da? Regularitäts- und Auswahlaxiom haben jeweils eigene Artikel, das wäre vielleicht der geeignetere Ort für weitergehende Erklärungen.--Gunther 4. Jul 2005 10:17 (CEST)

Alle Axiome sollten eigene Artikel haben, in denen sie mit Beispielen verständlich gemacht werden, und wo ihre Zusammenhänge und Varianten dargestellt werden. Die Axiomenliste hier sehr ich primär als Übersicht. --SirJective 9. Jul 2005 19:30 (CEST)

Hm, das Axiom der leeren Menge könnte etwas unergiebig sein, ebenso Paarmengenaxiom und Extensionalitätsaxiom.--Gunther 9. Jul 2005 20:08 (CEST)

Da muss ich SirJective Recht geben. Das Axiom der leeren Menge zum Beispiel ist wirklich nicht unergiebig, denn es ist das einzige, das voraussetzungslos festlegt, dass es in einem ZFC-System überhaupt etwas gibt. Deshalb hat ja ein berühmter Mathematiker (leider ist mir entfallen, wer) erklärt, Mathematik sei "die Metaphysik der leeren Menge". Da steckt einiges mehr dahinter als das schlichte " $\exist B \, \forall A: \lnot (A \in B)$ ". Irgendwann im Laufe der nächsten Jahre werde ich mal dazu kommen, dies auszuführen.
Über Extensionalität habe ich ja bei Mengenlehre und Menge (Mathematik) gerade einiges geschrieben. Sicher wäre es sinnvoll, diese Gesichtspunkte auch in einem Lemma Extensionalitätsaxiom anzusprechen.
Zitat aus dem Lemma Axiom: "Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie)." -- Peter Steinberg 00:05, 10. Jul 2005 (CEST)

Diese grundlegenden Axiome sind für sich genommen unvollständig, beispielsweise ist ja ohne Extensionalität nicht klar, dass es nur eine leere Menge gibt. Es interessiert sich vermutlich auch niemand dafür, was aus dem Extensionalitätsaxiom allein folgt, oder was aus den anderen Axiomen ohne das Extensionalitätsaxiom folgt. Deshalb erscheint mir eine getrennte Behandlung nicht sinnvoll.

In Mengenlehre oder Menge (Mathematik) geht es um den Begriff der Menge, der Extensionalität als einen Aspekt umfasst. Dass diese aber einem der Axiome entspricht, ist dafür irrelevant.--Gunther 00:52, 10. Jul 2005 (CEST)

Natürlich sind die Axiome nicht unabhängig voneinander. Trotzdem hat wohl jedes(?) seine ureigene Intention. Aber das sollten wir hier m.E. nicht weiter diskutieren, sondern der konkreten Weiterarbeit überlassen. Wenn die Artikel mal angegangen werden, können wir uns noch genug über ihren Sinn streiten. -- Peter Steinberg 23:17, 11. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Unterscheidung Notation

Wäre es möglich, daß die Symbole für Mengen und Elemente sich unterscheiden, z.B. Mengen Großbuchstaben, fett o.ä, Elemente Kleinbuchstaben? (bitte bitte)

Wir hätten dann statt

das besser lesbare, da c eine andere Ebene/andere Kategorie ist als A und B

usw.

Das fände ich sehr hilfreich.

Gottfried Helms

Das ist hier definitiv nicht sinnvoll. In ZFC gibt es eben keine Unterscheidung zwischen Mengen und Elementen, sondern alles ist Menge.--Gunther 7. Jul 2005 00:40 (CEST)

[Bearbeiten] Paarmengenaxiom (erledigt)

Hallo, ich schlage vor, anstelle von "Paarungsaxiom" den aussagekräftigeren Begriff Paarmengenaxiom zu benutzen. Dabei wird besser deutlich, dass es um eine Menge geht, deren Existenz gefordert wird, und nicht etwa um ein geordnetes Paar (a, b). Zitatstellen für "Paarmengenaxiom":
O. Deiser, Einführung in die Mengenlehre
http://www.mathematik.de/mde/information/landkarte/gebiete/mengenlehre/mengenlehre.html
Gruß von --Wasseralm 16:13, 3. Dez 2005 (CET)

In der Tat, auch Google findet die Bezeichnung Paarungsaxiom nur in der WP.--Gunther 16:16, 3. Dez 2005 (CET)

Ich habe es geändert. --Wasseralm 16:32, 4. Dez 2005 (CET)

Übrigens, ich habe mich schon öfters gefragt, wie man erkennen kann welche der vielen Hundert Einträge, die google liefert, tatsächlich nur aus Kopien der Wikipedia stammen. --Wasseralm 16:32, 4. Dez 2005 (CET)

Z.B. bei dieser Suche ist die zweite Seite schon sehr überschaubar.--Gunther 16:39, 4. Dez 2005 (CET)

aha, guter Trick, danke! Wasseralm

[Bearbeiten] Klammersetzung u. .a

Bei der Formalisierung sollten die Klammern richtig gesetzt sein. Die Quantoren werden gewöhnlich in polnischer Notation verwendet und beziehen sich auf die folgende Aussage, die im Zweifelsfall klar abgrenzt sein muss. 1. Extensionalität: Klammer um die Gesamtaussage nach B: ist nötig. 2. Leermengenaxiom (mein empfohlener Name, der wie sonst ein Wort wäre): Doppelpunkt nach B fehlt. 3. Paarmenge: Klammer um die Gesamtaussage nach D: ist nötig. 4. Vereinigung: Klammer um die Aussage nach C: , ferner steht die Klammer nach dem Äquivalenzzeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor D:. 5. Unendlichkeit: Klammer um die Aussage nach A: , ferner steht die Klammer nach dem Und-Zeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor x:. Warum ist hier x das einzige Mal klein geschrieben? 6. Potenzmenge: Klammer um die Aussage nach B: , ferner steht die Klammer nach dem Äquivalenzzeichen falsch: Sie gehört hinter den Quantor C:. 7. Fundierung: Klammer um die Aussage nach A:, B:, C: 8. Aussonderung: Klammer um die Aussage nach C:. 9. Ersetzung: Klammer um die Aussage nach C: und D:. 10. Auswahlaxiom: 6 öffnende Klammern und nur zwei schließende Klammern (Syntaxerror). Bei quantifizierung von X, Y, Z dich Kommaschreibweise von 1. und 3. nutzen. Warum ist hier das einizige Mal die Non-Element-Aussage geklammert? Positiv ist hier bei dieser Aussage die enge Schreibweise ohne Lücken, die optisch klar macht, dass Relationszeichen stärker binden. Das wäre auch sonst empfehlenswert bei der Elementrelation und dem Gleichheitszeichen, weil die unnötigen Lücken stören. Auch die chronischen Lücken vor dem Doppelpunkt stören optisch. Grüße: Dr. W. Neumaier

[Bearbeiten] Klammersetzung 2

Entschuldigung, mein Drucker hat beim Auswahlaxiom nicht die ganze Zeile ausgedruckt, weil sie überlang ist, daher kommt der Syntaxerror zustande. Tippfehler in Klammersetzung 1 bitte ignorieren. Dr. W. Neumaier

[Bearbeiten] konsequente prädikatenlogische Formulierung

Es gibt übrigens eine wirklich 100%ig prädikatenlogische Formulierung der ZF-Axiome (die einzige mir bekannte)und zwar bei: Oberschelp, Allgemeine Mengenlehre, 1994, S. 262. Sie benützt nur wirklich sauber definierte prädikatenlogische Zeichen und nutzt u.a. den Eindeutigkeitsquantor aus, um die problematischen Funktionen zu eliminieren. Der Eindeutigkeitsquantor ist in der Prädikatenlogik mit Gleichheitsprädikat definiert (und wird auch schon im Auswahlaxiom benutzt). Man sollte diese Form der Prädikatenlogik als Voraussetzung angeben, und zwar ganz am Anfang, und möglichst darauf hinweisen, welche Zeichen dort definiert sind. Die Oberschelp-Mengenlehre ist m. E. die einzige, die auch klar sagt, dass man in der Prädikatenlogik keine Mengenterme benützen kann (!), weil sie sich nicht exakt definieren lassen (S. 263). Sie arbeitet selbst in einer Klassenlogik, in der beliebige Klassenterme zur Verfügung stehen. Deshalb findet sich dort eine Seite vorher (S. 261) eine sehr viel einfachere Version von ZF, die Klassenterme gut ausnützt.

Historisch ist die prädikatenlogische Version so oder so nicht. Die alten Logiker wie Zermelo und Fraenkel benützten sie noch nicht. Von Skolem stammt die erste Formalisierung, aber nicht in der heutigen Form der Prädikatenlogik. Auch sie muss deswegen übersetzt werden. Dr. W. Neumaier

[Bearbeiten] Historisches

ZF benützt 8 Axiome von Zermelo aus dem Jahr 1907 (gedruckt 1908). Nur das 9. Axiom der Ersetzung stammt von Fraenkel (1922). Skolem bot die erste Formalisierung von ZF erst im Jahr 1929 (nicht 1922!) ohne Fundierungsaxiom, das es damals noch nicht gab. Dieses ergänzte Zermelo erst 1930. In der Arbeit von 1930 gab Zermelo selbst seinem Axiomensystem auch den Namen ZF-System (ohne Fundierung). Ausdrücklich bezieht das originale ZF-System auch Urelemente ein. Die prädikatenlogische Fassungen haben also stillschweigend ein Zusatzaxiom: die Gleichsetzung der Allklasse mit der Mengenklasse, die im Allquantor steckt. Habe den Artikel gemäß diesen Daten und den vorausgehenden Diskussionen korrigiert. Dr.W.Neumaier

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