Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.

Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines
2 Laplace-Operator in 1 Dimension
3 Laplace-Operator in 2 Dimensionen
4 Laplace-Operator in 3 Dimensionen
5 Bemerkungen
6 Eigenschaften
7 Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung
8 Laplace-Beltrami-Operator
9 Literatur

[Bearbeiten] Allgemeines

Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als

$\Delta=\vec\nabla^2= \sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

Dabei ist $\vec\nabla$ der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise

$\Delta\varphi = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,\varphi\right) = \vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\varphi\right).$

möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in kartesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.

[Bearbeiten] Laplace-Operator in 1 Dimension

Für eine Funktion φ(x) in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.

[Bearbeiten] Laplace-Operator in 2 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\varphi ( x , y )$

$\Delta\varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}$

in Polarkoordinaten mit $\varphi ( r , \phi )$

$\Delta\varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2}$

oder

$\Delta\varphi = \frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r} \left( r\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2}$

[Bearbeiten] Laplace-Operator in 3 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y,z) von drei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\varphi ( x , y , z )$

$\Delta\varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}$

in Zylinderkoordinaten mit $\varphi ( \rho , \phi , z )$

$\Delta\varphi = \frac{1}{\rho} \cdot\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\cdot\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}$

in Kugelkoordinaten mit $\varphi ( r , \vartheta , \phi )$

$\Delta\varphi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \cdot \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2}$

Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:

$G_{\Delta}(x, x') = -\frac{1}{4\pi\|x-x'\|} + F(x,x')$ mit $Δ F (x, x') = 0$ .

Es gilt dann: $Δ G Δ (x, x') = δ(x - x')$ mit der Delta-Distribution $δ$ . Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder $\vec A$ angewandt werden. $\Delta \vec A$ wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang :

$\Delta\vec A = \operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\,\vec A \right) - \operatorname{rot}\left( \operatorname{rot}\,\vec A \right)$

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

$\Delta\varphi = 0$

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.

Insbesondere im englischsprachigen Raum (und folglich in der englischsprachigen Literatur) wird der Laplace-Operator nicht mit dem Symbol $Δ$ bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise $\nabla^2$ benutzt.

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

$\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta$

Das kann man als eine Verallgemeinerung des $Δ$ auf den Minkowski-Raum betrachten.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt

$\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)$

wobei „ $\circ$ “ für die Verkettung von Funktionen steht.

Siehe auch: Gradient, Divergenz und Rotation.

[Bearbeiten] Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung

Hauptartikel: Laplacefilter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: $\vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}$

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante:

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

[Bearbeiten] Laplace-Beltrami-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumens verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der Riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und Riemannsche bzw. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator trägt den Namen Laplace-Beltrami-Operator. Er wird, wie der Laplace-Operator, als Divergenz des Gradientenfeldes definiert. Um den Laplace-Beltrami-Operator herzuleiten werden demnach verallgemeinerte Ausdrücke für die Divergenz und den Gradienten auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit benötigt.

Der Gradient einer skalaren Funktion f kann auf einer Mannigfaltigkeit als inneres Produkt $\,\langle\cdot,\cdot\rangle$ :

$\langle \mbox{grad} f(x) , v_x \rangle = \mathrm d f(x)(v_x)$

definiert werden. Dies gilt für alle Vektoren $\,v_x$ am Punkt x im Tangentialraum $\,T_xM$ der Mannigfaltigkeit am Punkt x. df ist dabei die äußere Ableitung der Funktion f. Sie ist eine 1-Form mit $v x$ .

Wenn $g$ für den metrischen Tensors einer Mannigfaltigkeit steht, ist das Volumen-Element in lokalen Koordinaten durch:

$\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;\mathrm dx^1\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^n$

gegeben. Dabei sind die $\, \mathrm dx^i$ 1-Formen und bilden eine duale Basis zu den Basisvektoren

$\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}$

des lokalen Koordinatensystems. $\, \wedge$ is das Dachprodukt. Hier ist $\,|g|:=|\det g|$ der Betrag der Determinante des metrischen Tensors. Die Divergenz eines Vektorfeldes X in einer Mannigfaltigkeit kann damit definiert werden als

$\mathcal{L}_X \mathrm{vol}_n = (\mbox{div} X) \; \mathrm{vol}_n$ ,

wobei $L X$ die Lie-Ableitung entlang des Vektorfeldes X ist. In lokalen Koordinaten gilt:

$\mbox{div} X = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \sqrt {|g|} X^i.$

In dieser Formel wird dabei die Einsteinsche Summenkonvention benutzt. Das bedeutet, dass in der eben genannten Gleichung über i von 1 bis n summiert wird. Der Gradient wird in den lokalen Koordinaten durch:

$\left(\mbox{grad} f\right)^i = \partial^i f = g^{ij} \partial_j f$

definiert. Die $g i j$ sind dabei die Komponenten der Inversen des metrischen Tensors $g i j$ . Es gilt also $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$ . Dabei ist $\delta^i_k$ das Kronecker-Delta. Diese Definition ist jedoch nur gültig für skalare Funktionen $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ .

Der Laplace-Beltrami-Operator schreibt sich als Anwendung auf eine skalare Funktion f also zu:

$\Delta f = \mbox{div grad} \; f = \frac{1}{\sqrt {|g|}} \partial_i \sqrt{|g|} \partial^i f$ .

Unter einer lokalen, zweidimensionalen Parametrisierung $u 1, u 2$ wird der Laplace-Beltrami-Operator mit dem metrischen Tensor und den Christoffel-Symbolen wie folgt berechnet:

$\Delta f = g^{ij}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial u^i \partial u^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial u^k} \right)$

Es lässt sich mit dieser Formel auch zeigen, dass der Laplace-Beltrami-Operator des euklidischen Raumes unter Benutzung der Kettenregel wieder in den gewöhnlichen Laplace-Operator übergeht:

$\Delta f = \partial_i \partial^i f + (\partial^i f) \partial_i \ln \sqrt{|g|}$ .

Da im euklidischen Raum $| g | = 1$ gilt, ergibt sich $\Delta f = \partial_i \partial^i f$ was genau dem gewöhnlichen Laplace-Operator entspricht. Wird die Minkowski-Metrik mit Signatur (+,-,-,-) oder (-,+,+,+) benutzt, ergibt sich dagegen der D'Alembert-Operator. Mit dem metrischen Tensor für Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten kann der Laplace-Beltrami-Operator sehr einfach bestimmt werden, da die Funktionaldeterminante des metrischen Tensors, wie bereits oben erwähnt, gerade dem Volumenelement $\,\sqrt{|g|}$ der zugehörigen Koordinaten entspricht. Somit ist der Laplace-Beltrami-Operator und die Metrik besonders nützlich für Koordinatentransformationen, nicht nur in gekrümmten Räumen, sondern auch im euklidischen, flachen Raum.