Quantenstatistik
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In der Quantenstatistik wird das Verhalten makroskopischer Systeme mit den Methoden der Quantenmechanik untersucht. Ähnlich wie in der klassischen statistischen Physik ist der Ausgangspunkt die Annahme, dass sich das System in einem nicht näher bekannten Mikrozustand befindet. Liegt das System in einem Zustand 
des Hilbertraums vor, spricht man von einem reinen Zustand. In Analogie zum klassischen Ensemble betrachtet man Überlagerungen verschiedener Zustände 
, die sogenannten gemischten Zustände. Zur Beschreibung des quantenmechanischen Systems benutzt man den Dichteoperator
Für die Quantenstatistik wichtig ist die Existenz identischer Teilchen, das sind Quantenobjekte, die sich durch keine Messung unterscheiden lassen, mit anderen Worten der Hamiltonoperator des Systems ist symmetrisch in den Teilchenvariablen, z. B. Orts- und Spinfreiheitsgrad. Die Vielteilchenwellenfunktion ψ(1,2,...,N) bleibt unter Vertauschung invariant, jeder Operator A kommutiert mit einer Permutation P der Teilchen:
![\left[A,P\right] = 0](../../../math/5/6/5/56571643e2d3258f39e14cabe306e51a.png)
Da jede Permutation aus Transpositionen τij zusammengesetzt werden kann und 
gilt, ist es sinnvoll nur total (anti)symmetrische Vielteilchenzustände zu betrachten:
Das Experiment zeigt, dass die Natur tatsächlich nur solche Zustände realisiert, was am Fehlen von Austauschentartung erkennbar ist, man bezeichnet diese Tatsache auch als Symmetrisierungspostulat. Teilchen, deren Wellenfunktion symmetrisch ist, bezeichnet man als Bosonen, die anderen als Fermionen. In zwei Dimensionen ist ein Phasenfaktor eiφ bei Vertauschung denkbar, diese Teilchen werden Anyonen genannt. Das Spin-Statistik-Theorem verknüpft die Symmetrie der Wellenfunktion mit ihrem Spin, Fermionen haben halbzahligen, Bosonen ganzzahligen Spin, bei den Anyonen können andere rationale Verhältnisse auftreten. Die Fermi-Dirac-Statistik beschreibt die Verteilung von Fermionen auf die Zustände eines Vielteichensystems, die Bose-Einstein-Statistik entsprechend für die Bosonen. Beispiele für quantenstatistische Effekte sind die Bose-Einstein-Kondensation, verknüpft damit Supraleitfähigkeit und Suprafluidität, die Hohlraumstrahlung schwarzer Körper, die Wärmekapazität von Festkörpern, die Bänderstruktur von Metallen und Halbleitern, der Widerstand von weißen Zwergen und Neutronensternen gegen die Eigengravitation und der nernstsche Satz (3. Hauptsatz der Thermodynamik (Der Absolute Nullpunkt kann nie erreicht werden)).
