Rankine-Hugoniot-Gleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit ihn zu verbessern und entferne anschließend diese Markierung.

Die Rankine-Hugoniot-Gleichung oder auch Rankine-Hugoniotsche Sprungbedingung beschreibt das Verhalten von Stoßwellen. Sie ist benannt nach dem schottischen Physiker William John Macquorn Rankine (1820-1872) und dem französischen Ingenieur Pierre Henri Hugoniot (1851-1887).

Die Idee beruht auf der Annahme eines eindimensionalen stetigen Flusses eines kompressiblen Mediums, das durch die Eulergleichungen beschrieben wird, wobei die Erhaltung von Masse, Energie und Impuls vorausgesetzt wird. Das führt zu drei Gleichungen, aus denen die Flussgeschwindigkeiten beiderseits der Stoßfront, u₁ und u₂, eliminiert worden sind.

Es ist üblich, die Variablen für die Größen vor der Stoßfront (ungestörter Zustand) mit 1 und diejenigen hinter der Stoßfront (stoßkomprimierter Zustand) mit 2 zu indizieren. Es sei ρ die Dichte, p der Druck und u die Geschwindigkeit. Mit e ist die innere Energie pro Masseneinheit bezeichnet; im idealen Gas ist damit die Zustandsgleichung somit $p = ρ(κ - 1) e$ (κ ist der Adiabatenexponent).

Die Gleichungen

$\rho_1u_1=\rho_2u_2 \!$

$p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2$

$u_1\left(p_1+\rho_1e_1+\rho_1u_1^2/2\right)= u_2\left(p_2+\rho_2e_2+\rho_2u_2^2/2\right)$

sind äquivalent zu den Erhaltungssätzen von Masse, Impuls und Energie. Dabei ist zu beachten, dass der Energiefluss aus den drei Komponenten mechanische Arbeit, innere Energie und kinetische Energie besteht.

Elimination der Geschwindigkeit führt auf die folgende Beziehung:

$2\left(h_2-h_1\right)=\left(p_2-p_1\right)\cdot \left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)\ ,$

wobei $h = p + ρ e$ .

Das wird als Hugoniotsche Adiabate bezeichnet. Wenn nun die Zustandsgleichung für das ideale Gas verwendet wird, ergibt sich

$\frac{p_1}{p_2}= \frac{(\kappa+1)-(\kappa-1)\frac{\rho_2}{\rho_1}} {(\kappa+1)\frac{\rho_2}{\rho_1}-(\kappa-1)} \quad\mbox{bzw.}\quad \frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{p_1(\kappa-1)+p_2(\kappa+1)}{p_1(\kappa+1)+p_2(\kappa-1)}$

Da die Drücke stets positiv sind, folgt daraus, dass das Dichteverhältnis $ρ 1 / ρ 2$ niemals größer als $(κ + 1) / (κ - 1)$ sein kann. Für Luft mit κ bei etwa 1,4 beträgt das Verhältnis ungefähr 6. Dieses Ergebnis mag überraschen, ist aber anschaulich nachvollziehbar, da eine Zunahme des Drucks auch zu einer Temperaturzunahme führt, die der Dichtezunahme teilweise entgegenwirkt. Während die Stoßstärke (der Überdruck) beliebig groß werden kann, erreicht das Dichteverhältnis einen endlichen Grenzwert. Allerdings kann hohe Temperatur bei starken Stößen zur Dissoziation oder sogar zur Ionisation und damit zur Zunahme der thermodynamischen Freiheitsgrade und damit zu einem kleineren Wert von κ führen. Daher kann in realen Gasen diese Obergrenze wesentlich höher sein als für das ideale Gas.

Die ersten beiden Erhaltungssätze folgen aus den Eulergleichungen bzw. führen zu diesen. Mit ihnen können die Sprungbedingungen für die Geschwindigkeit und die Dichte (bzw. Druck) an der Stoßfront dargestellt werden. Die zentrale Idee von Rankine-Hugoniot war nun die Nutzung des dritten Erhaltungssatzes (der Energieerhaltung) um damit eine Sprungbedingung für die Entropie zu formulieren. Jene ist an der Stoßfront unstetig:

S 1 - S 0 > 0

Daraus folgt, dass eine Stoßwelle kein adiabatischer (oder isentroper) Prozess mehr ist und die Enthalpieänderung auch eine Entropiekomponente enthält:

$dH = \int^{2}_{1}\frac{dp}{\rho}+TdS$