Resonanzwiderstand

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Der Resonanzwiderstand ist eine Resonanzerscheinung in einem schwingungsfähigen System. Er bezeichnet den Scheinwiderstand eines Schwingkreises bei Resonanz. Der Schwingkreis muss hierbei mindestens aus zwei Energiespeichern verschiedener Energieformen bestehen. Man unterscheidet zwischen Reihen und Parallelschwingkreisen. Bei einem Idealen Reihenschwingkreis ist der Resonanzwiderstand null, bei einem idealen Parallelschwingkreis ist der Resonanzwiderstand unendlich groß. Ideal bedeutet in dem Zusammenhang, dass keine Bauteile des Schwingkreises Wirkleistung umsetzen, sprich keine ohmschen Anteile besitzen.

Die Betrachtung des Resonanzwiderstandes ergibt also nur Sinn, wenn man betrachtet wie sich die ohmschen Anteile, also die Verluste der Spule und des Kondensators, die Leitungsverlust oder ein rein ohmscher Widerstand, auf den Scheinwiderstand des Schwingkreises bei Resonanz auswirken. Um diese Sache zu verstehen ist es wichtig, sich vorher mit den Themen komplexe Wechselstromrechnung, Blindwiderstand sowie Schwingkreis auseinander zu setzen.

[Bearbeiten] Erläuterung

Induktive und kapazitive Blindwiderstände sind entgegengesetzt. Bei Resonanz sind diese gleich groß und heben sich somit auf. Da sich der Blindwiderstand der Bauelemente mit der Frequenz ändert und zwar bei Spule und Kondensator umgekehrt proportional wird der Zustand der Resonanz bei einer gewissen Frequenz, der so genannten Resonanzfrequenz erreicht. Dies bedeutet, dass der Blindwiderstand des Schwingkreises (nicht der Bauelemente) null wird, und nur noch der Wirkwiderstand wirksam wird. Dies bedeutet auch, dass der Scheinwiderstand, der in diesem Falle Resonanzwiderstand heißt, nur noch durch den Wirkwiderstand repräsentiert wird.

Bei Reihenschwingkreisen ist die Betrachtung des Resonanzwiderstandes vergleichsweise einfach da die Impedanzen (Wechselstromwiderstände) der Bauteile Additiv aufeinander wirken, der Gesamtwiderstand ist also die Summe der Teilwiderstände und somit ist auch der Wirkwiderstand die Summe aller Wirkwiderstände und der Blindwiderstand die Summe aller Blindwiderstände (Addition komplexer Zahlen). Die Blindwiderstände heben sich im Resonanzfall auf und der Resonanzwiderstand besteht somit aus der Summe der ohmschen Anteile.

Bei einem Parallelschwingkreis ist dies nicht ganz so einfach da sich hier in Folge der parallelen Impedanzen der Strom aufteilt und zwar umgekehrt proportional zu den Werten der Impedanzen. Es überwiegt unterhalb der Resonanzfrequenz der Strom durch die Spule und oberhalb der Resonanzfrequenz der Strom durch den Kondensator. Im Resonanzfall, sind beide Ströme gleichgroß jedoch mit entgegen gesetztem Vorzeichen. Das heißt sie heben sich auf. Der Strom kann nun nur noch in Form von Verlusten in Spule und Kondensator fließen (Leckströme). Durch die umgekehrte Proportionalität wird der Parallelschwingkreis im Resonanzfall hochohmig. Da in einem Parallelschwingkreis in Folge der gegenseitigen Abhängigkeit des Stromes durch das jeweilig andere Bauelement auch der Wirkwiderstand des Schwingkreises frequenzabhängig wird, wird der Resonanzwiderstand zusätzlich zu den Verlustwiderständen auch abhängig von der Größe des Kondensators und der Spule

[Bearbeiten] Mathematische Grundlagen

Im Allgemeinen entspricht der Resonanzwiderstand dem Scheinwiderstand bei Resonanz. Der Scheinwiderstand entspricht dem Betrag der Impedanz. Da im Fall der Resonanz der Blindwiderstand $X$ Null wird, ist der der Resonanzwiderstand $Z r$ der Realteil der Impedanz.

$Z = |\underline Z| = |R + jX| = \sqrt{R^2 + X^2}$

$Z_r = |R + j0| = \sqrt{R^2 + 0^2} = R = \operatorname {Re} \{\underline Z\}$ .

Im folgenden bedeutet:

$\underline Z$ = Impedanz

$X = \operatorname {Im} \{\underline Z\}$ = Blindwiderstand

$R = \operatorname {Re} \{\underline Z\}$ = Wirkwiderstand

j

= imaginäre Einheit

Z

= Scheinwiderstand

Z r

= Resonanzwiderstand

Z C

= Impedanz des Kondensators

Z L

= Impedanz der Spule

X C

= kapazitiver Blindwiderstand

X L

= induktiver Blindwiderstand

R O h m

= ohmscher Widerstand

R C

= kapazitiver Verlustwiderstand

R L

= induktiver Verlustwiderstand

Der Verlustwiderstand beinhaltet auch die Übergangswiderstände und Leitungsverluste. Ein in Reihe geschalteter ohmscher Vorwiderstand wirkt additiv auf den Verlustwiderstand, also $R_{L_{\rm{ges}}} = R_{\rm{Verlust}} + R_{\rm{Ohm}}$

[Bearbeiten] Reihenschwingkreis

Der Reihenschwingkreis besteht aus einer Spule und einem Kondensator , die in Reihe geschaltet sind. Der Resonanzwiderstand wäre bei idealen Bauelemten null, die Verlustwiderstände bzw. ein ohmscher Widerstand heben den Resonanzwiderstand jedoch an.

Die Impedanz des Reihenschwingkreis ergibt sich folgendermaßen:

$\underline Z = \underline {Z_C} + \underline {Z_L} = R_C + jX_C + R_L + jX_L = (R_C + R_L) + j(X_L + X_C)$

Bei der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreis, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\operatorname {Im} \{\underline Z\} = 0$

Es ergibt sich:

$\, X_L + X_C = 0$

Für sinusförmige Wechselspannungen gilt somit (Formeln siehe Blindwiderstand):

$\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C} = 0$

$\omega_r = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ (Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Für den Resonanzwiderstand gilt dann:

$Z_r = \operatorname {Re}\{\underline Z\} = R_C + R_L$

Es ist zu sehen, dass der Resonanzwiderstand den geringsten Widerstand eines Reihenschwingkreises darstellt. Der Resonanzwiderstand eines Reihenschwingkreises ergibt sich unabhängig vom Verlauf der Wechselspannung. Für Spulen und Kondensatoren mit hoher Güte ist der Einsatz eines ohmschen Vorwiderstandes unablässig da die Verlustwiderstände dann im Verhältnis zum Innenwiderstand der Spannungsquelle so gering sind das sie im Resonanzfall praktisch einen Kurzschluss darstellen.

[Bearbeiten] Parallelschwingkreis

Der Parallelschwingkreis besteht in der Regel aus einer Spule und einem Kondensator die parallel geschaltet sind. Bei idealen Bauelementen wäre der Resonanzwiderstand unendlich hoch, die Verlustwiderstände senken den Wert des Resonanzwiderstandes allerdings deutlich.

Die Impedanz des Parallelschwingkreis ergibt sich folgendermaßen:

$\frac{1}{\underline Z} = \frac{1}{\underline{Z_C}} + \frac{1}{\underline{Z_L}}$

$\underline Z = \frac{\underline{Z_C}\cdot \underline{Z_L}}{\underline{Z_C} + \underline{Z_L}} = \frac{(R_C + jX_C) \cdot (R_L + jX_L)}{(R_C + jX_C) + (R_L + jX_L)} = \frac{(R_C R_L - X_C X_L) + j(R_C X_L + R_L X_C)}{(R_C + R_L)+j(X_L + X_C)}$

$\underline Z = \frac{(R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C X_L^2 + R_L X_C^2) + j(R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C)) }{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2}$

Da $R C$ im Verhältnis zu $R L$ oftmals sehr klein ist wird er zur Vereinfachung in der Regel vernachlässigt, so dass sich eine vereinfachte Formel für die Impedanz ergibt:

$\underline Z = \frac{(R_L X_C^2) + j(R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C))}{R_L^2 + (X_L + X_C)^2}$

Bei der Resonanzfrequenz des Parallelschwingkreis, muss wiederum folgende Bedingung erfüllt sein:

$\operatorname {Im}\{\underline Z\} = \frac{R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C)}{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2} = 0$

Dies ist der Fall, wenn der Zähler gleich Null und der Nenner von Null verschieden ist: daraus folgt:

$R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C) = 0$ und $(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2 \not = 0$

Für sinusförmige Wechselspannungen gilt somit: (Formeln siehe Blindwiderstand)

$R_C^2 \cdot (\omega_r L) + R_L^2 \cdot \left(-\frac{1}{\omega_r C}\right) - \frac{L}{C}(\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C}) = \omega_r L \cdot \left(R_C^2 - \frac{L}{C} \right) - \frac{1}{\omega_r C}\cdot \left(R_L^2 - \frac{L}{C} \right) = 0$

Die Formel für die Resonanzkreisfrequenz eines Parallelschwingkreises ist somit:

$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \sqrt{\frac{\left(R_L^2 - \frac{L}{C} \right)}{\left(R_C^2 - \frac{L}{C} \right)}}$

Wenn $\, R_C = R_L$ ist, gilt die Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Wenn $R_C \not= R_L$ ist, beeinflussen die Verluste der Bauelemente die Resonanzfrequenz geringfügig, die Resonanzfrequenz wird gedämpft.

Im Fall das $\, R_C = 0$ und $\, R_L = 0$ ist, also bei der Annahme idealer Bauelemente, gilt diese Gleichung nicht, da in dem Fall auch der Nenner des Bruchs null würde, die Resonanzfrequenz wird in diesem Fall nicht erreicht der Schwingkreis sperrt vorher vollständig.

Für den Resonanzwiderstand gilt dann:

$\operatorname {Re}\{\underline Z\} = Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C X_L^2 + R_L X_C^2}{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2}$

Für sinusförmige Wechselspannungen folgt daraus:

$Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C \cdot \omega_r^2 L^2 + R_L \cdot \frac{1}{\omega_r^2 C^2}}{(R_C + R_L)^2 + \left(\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C} \right)^2}$

Als Vereinfachung kann man nun annehmen das $\omega_r \approx \omega_0$ (Thomsonsche Schwingungsgleichung) und somit:

$\, X_L + X_C = 0$ und $X_L^2 = X_C^2 = \frac{L}{C}$

Damit folgt die Formel:

$Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + \frac{L}{C} (R_C + R_L)}{(R_C + R_L)^2}$

Da $R C$ in der Regel kleiner als $R L$ ist, kann man zur weiteren Vereinfachung $R C = 0$ setzten, so dass nur noch folgendes übrig bleibt:

$Z_r = \frac{\frac{L}{C} (R_L)}{(R_L)^2} = \frac{L}{R_L \cdot C}$

An dieser Formel ist sehr schön zu erkennen, dass der Verlustwiderstand der Spule den Resonanzwiderstand reduziert. Wäre $R L$ null wäre der Resonanzwiderstand unendlich groß.

[Bearbeiten] Anmerkung zu $R C$ und $R L$

Bei Kondensatoren wird der Verlust häufig als Verlustleitwert $G C$ anstelle des Verlustwiderstandes $R C$ angegeben. In diesem Falle nimmt man zur Darstellung nicht die Impedanz sondern die Admittanz, sprich der Verlustleitwert parallel zum Blindleitwert.

$\underline{Y_C} =G_C + jB_C =\frac{1}{\underline{Z_C}} = \frac{1}{R_C + jX_C} = \frac{R_C}{R_C^2 + X_C^2} - j\frac{X_C}{R_C^2 + X_C^2}$

und somit:

$G_C = \frac{R_C}{R_C^2 + X_C^2} = \frac{R_C}{R_C^2 + \frac{1}{\omega^2C^2}}$ --> bei Resonanzfrequenz $ω 0$ $G_C = \frac{R_C}{R_C^2 + \frac{L}{C}}$

bzw.

$R_C = \frac{G_C}{G_C^2 + B_C^2}= \frac{G_C}{G_C^2 + \omega^2C^2}$ --> bei Resonanzfrequenz $ω 0$ $R_C = \frac{G_C}{G_C^2 + \frac{C}{L}}$

Der in Reihe zur Spule geschalteten niederohmige $R L$ kann auch als hochohmiger parallel geschalteter Widerstand $R p$ beschrieben werden dabei gilt.

$R_p = \frac{1}{G_L} = \frac{R_L^2 + X_L^2}{R_L}$ --> bei Resonanzfrequenz $ω 0$ $R_p=\frac{R_L^2 + \frac{L}{C}}{R_L}$

[Bearbeiten] Siehe auch

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Kategorien: Widerstand (Elektrotechnik) | Theoretische Elektrotechnik | Elektrische Schaltung

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[Bearbeiten] Parallelschwingkreis

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