Schwingkreis

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Ein elektrischer Schwingkreis ist eine Baugruppe aus einer Spule und einem Kondensator, die elektrische Schwingungen ausführen kann. Hierbei wird die Energie zwischen Spule und Kondensator periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hoher Strom oder hohe Spannung vorliegen. Die Frequenz f₀, mit der sich dieses periodisch wiederholt, ist:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$ .
Diese Gleichung nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Wenn der Kondensator geladen ist, liegt maximale Spannung vor, die Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Dann entlädt sich der Kondensator über die Spule, der Strom ist dann maximal und die Energie ist ins Magnetfeld geströmt. Wegen der Trägheit der Spule gegen Stromänderung sorgt die Induktion dafür, dass der Strom nun noch weiter fließt (die Energie wird dem Magnetfeld entnommen) und den Kondensator in umgekehrter Polung wieder auflädt. Schließlich ist wieder die Spannung maximal, aber mit umgekehrter Polung. Nun verläuft der Vorgang wieder zurück und so weiter.

In realen Schwingkreisen treten zusätzlich zu den Induktivitäten (Spulen) und Kapazitäten (Kondensatoren) auch verlustbehaftete Elemente auf (ohmscher Widerstand). Dies führt dazu, dass die Schwingung eines Schwingkreises gedämpft wird. Ein Maß dafür, wie lang ein Schwingkreis eine freie Schwingung aufrechterhalten kann, ist dessen Güte. Der Gütefaktor ist gegeben durch

$Q = \frac{f_0}{B}$ ,

wobei f₀ die Resonanzfrequenz und B = f₂ - f₁ die Bandbreite bezeichnet.

$f_0 = { \sqrt{f_1 \cdot f_2} }$

f₀ darf nicht als arithmetisches Mittel der oberen Grenzfrequenz f₂ und unteren Grenzfrequenz f₁ berechnet werden. Hier gilt nur die Berechnung für das "geometrische Mittel" [1].

Die Grenzfrequenzen f₁ bzw. f₂ sind diejenigen Frequenzen bei denen die Spannung U bzw. der Strom I auf den $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei exakter Resonanzfrequenz.

Außerdem ist die Güte eines Schwingkreises noch durch folgende Beziehung gegeben:

$Q = \frac{Q_{\omega_0}}{P_{\omega_0}}$ ,

also der Quotient aus Blind- und Wirkleistung bei Resonanzfrequenz.

Je nach Anordnung der Induktivitäten und Kapazitäten unterscheidet man den Parallelschwingkreis (L parallel zu C) und den Reihenschwingkreis (L in Reihe zu C).

Inhaltsverzeichnis

1 LC-Parallelschwingkreis (Sperrkreis)
2 LC-Reihenschwingkreis (Saugkreis / Siebkette)
3 Oszillator
4 Resonanzkurve (Ortskurve)
5 Kreisgüte
- 5.1 Güte oder Gütefaktor eines Serienschwingkreises
- 5.2 Güte eines Parallelschwingkreises
6 Abstimmung
7 Anwendung
8 Siehe auch
9 Literatur
10 Weblinks

[Bearbeiten] LC-Parallelschwingkreis (Sperrkreis)

Spule und Kondensator bilden eine Parallelschaltung. Dadurch liegt an beiden Bauteilen stets die gleiche Spannung, jedoch können in ihnen unterschiedliche Ströme fließen. Die Resonanz einer solchen Schaltung ist ein Sonderfall der Parallelresonanz (für $R = \infty$ ).

Bei einer Spule ist die Spannung in der Phase um 90° dem Strom voraus, im Zeigerdiagramm:

Bei einem Kondensator ist der Strom in der Phase um 90° der Spannung voraus, d.h. die Spannung um 90° hinter dem Strom zurück; im Zeigerdiagramm:

Da die Spannungen im Parallelschwingkreis bei Spule und Kondensator übereinstimmen, ist der resultierende Gesamtstrom die Summe aus I_L und I_C:

Das Verhältnis von U und I wird durch den kapazitiven und induktiven Blindwiderstand X_C bzw. X_L bestimmt. Für eine Spule mit der Induktivität L gilt bei der Frequenz f:

$X_L = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L$

Für einen Kondensator mit der Kapazität C gilt bei der Frequenz f:

${X_C = -{1 \over {2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}}$

Häufig wird anstelle der Frequenz auch die Kreisfrequenz ω benutzt:

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

Daraus ergibt sich, dass bei einer bestimmten Frequenz f₀ die beiden Blindwiderstände und damit die beiden Ströme betragsmäßig gleich sind und sich aufheben, der Gesamtstrom wird dann 0. Der Gesamtwiderstand des Schwingkreises ist dann unendlich groß. Diese Frequenz ergibt sich aus der Bedingung

$Im(Z) = 0 \$

$X_L + X_C = 0 \$

$2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L = {1 \over {2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot C}}$

$f_0 = {1 \over {2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}}$

oder $\omega_0 = {1 \over \sqrt{L \cdot C}}$

(Thomsonsche Schwingungsgleichung). Man nennt f₀ die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Ein nichtidealer Schwingkreis enthält neben der Spule und dem Kondensator immer noch den Ohmschen Widerstand der Leitungen und der Spulenwicklung, es verbleibt dann ein restlicher Strom I_R, der mit U phasengleich ist und daher im Falle der Resonanz übrig bleibt.

Daher wird beim realen Parallelschwingkreis der Resonanzwiderstand nicht unendlich, sondern nur maximal groß.

[Bearbeiten] LC-Reihenschwingkreis (Saugkreis / Siebkette)

Beim LC-Reihenschwingkreis sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet. Diese Form des LC-Schwingkreises wird verwendet, um bestimmte Frequenzen herauszufiltern. Es werden nur Frequenzen herausgefiltert, die der Resonanzfrequenz des Schwingkreises entsprechen. Die Resonanz eines LC-Reihenschwingkreises heißt Reihenresonanz.

Der (Blind-)Widerstand der Schaltung ist $X = X_L + X_C = \omega L + {1 \over {\omega C}}$ .

Die Funktionsweise ist folgende:

Bei der Resonanzfrequenz heben sich die (komplexen) kapazitiven und induktiven Blindwiderstände gegenseitig auf und die Schaltung wirkt als Kurzschluss. Diese Frequenz ergibt sich aus der Bedingung

$X_L = -X_C \$

mit

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

$f_0 = {1 \over {2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}}$

Hier wird also genau die Frequenz bevorzugt, die bei einem Sperrkreis unterdrückt wird.

Liegt die Frequenz oberhalb der Resonanzfrequenz ist der induktive Blindwiderstand (Spule) betragsmäßig größer als der kapazitive, so dass der betragsmäßige Gesamtwiderstand positiv ist. Dabei wirkt die Spule wie ein Widerstand für diese Frequenz. Der Kondensator wirkt hierbei im Prinzip wie ein Kurzschluss.

Liegt die Frequenz unterhalb der Resonanzfrequenz, ist der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators betragsmäßig größer als der induktive Blindwiderstand der Spule und wir haben wieder einen betragsmäßig positiven Gesamtwiderstand. Hierbei wirkt die Spule wie ein Kurzschluss und der Kondensator wie ein Widerstand. Siehe auch: Oberschwingungsfilter

Das Schwingen eines Schwingkreises. Bei 1 befindet sich die gesamte Energie im elektrischen Feld des Kondensators, die Spannung ist maximal, Strom und magnetische Feldstärke sind 0. Bei 2 befindet sich die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule. Der Strom ist maximal. Spannung und elektrisches Feld sind 0. Bei 3 befindet sich die gesamte Energie wieder im elektrischen Feld, die Feldlinien zeigen jedoch im Vergleich mit 1 in die andere Richtung. Bei 4 befindet sich die gesamte Energie wieder im Magnetfeld, die Feldlinien verlaufen aber im Vergleich zu 2 in die entgegengesetzte Richtung.

[Bearbeiten] Oszillator

Sich selbst überlassen schwingt ein Schwingkreis mit seiner Resonanzfrequenz f₀. Infolge der Verluste (Dämpfung durch den ohmschen Widerstand) flacht die Schwingung jedoch im Laufe der Zeit ab ("gedämpfte Schwingung"), wenn nicht durch eine aktive Schaltung (zum Beispiel einen Transistorverstärker) regelmäßig wieder Energie zugeführt wird. Eine solche Schaltung bildet dann einen Oszillator (Schwingungserzeuger), z.B. bei der Meissner-Schaltung.

[Bearbeiten] Resonanzkurve (Ortskurve)

Die Resonanzkurve stellt den Gesamtwiderstand eines Schwingkreises in Abhängigkeit von der Frequenz dar. Sie weist beim Parallelschwingkreis einen niedrigen Wert auf, der in der Umgebung der Resonanzfrequenz ansteigt. Beim Serienschwingkreis ist der Wert hoch und sinkt in der Umgebung der Resonanzfrequenz ab.

[Bearbeiten] Kreisgüte

Die Breite B oder Δf des Minimums bzw. Maximums der Resonanzkurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz f₀ wird durch den Ohmschen Widerstand verursacht. Dieses kann ausgenutzt werden um die Güte eines Schwingkreises zu definieren.

[Bearbeiten] Güte oder Gütefaktor eines Serienschwingkreises

Das Verhältnis

$Q = {f_0 \over {B}}$

nennt man die Güte des Serienschwingkreises, die demnach durch den ohmschen Anteil R bestimmt wird. Dieser konzentriert sich weitgehend auf die Spule L. B = f₂ - f₁. Es gilt

$Q = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot {L \over R}={1 \over R} \cdot \sqrt{L \over C}$

Der Kehrwert der Güte wird auch Dämpfung genannt.

[Bearbeiten] Güte eines Parallelschwingkreises

Beim Parallelschwingkreis ist die Güte als

$Q = {f_0 \over {B}}$

definiert. B = f₂ - f₁. Für einen Parallelschwingkreis mit einem weiteren parallel geschalteten Widerstand ergibt sich

$Q = R \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$

[Bearbeiten] Abstimmung

Die Resonanzfrequenz hängt von L und von C ab und kann daher durch Ändern von L oder C beeinflusst werden. Der Schwingkreis wird hierdurch auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt. Die Induktivität L kann verändert werden, indem ein Kern aus Eisen oder Ferrit mehr oder weniger weit in die Spule eingeschoben wird. Die Kapazität C kann verändert werden, indem die Plattengröße oder der Plattenabstand des Kondensators verändert wird. Beim Drehkondensator geschieht das, indem man die Platten seitlich gegeneinander verdreht, so dass der Anteil der sich gegenüberliegenden Flächen verändert wird. Moderne Schaltungen verwenden anstelle eines Drehkondensators eine Kapazitätsdiode.

[Bearbeiten] Anwendung

Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes, der nur in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extremal (minimal bzw. maximal) wird, wird angewandt, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern, entweder um sie allein durchzulassen, oder um sie allein zu unterdrücken.

Mit ersterem werden zum Beispiel Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abgestimmt; mit letzterem kann eine Störung aus dem Rundfunksignal ausgefiltert werden.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/c/h/Schwingkreis.html“

Kategorien: Elektrische Schaltung | Funktechnik