Thomsonsche Schwingungsgleichung

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Mit der thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz $f_0\,$ eines Schwingkreises berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson, dem späteren Lord Kelvin, entdeckt.

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

[Bearbeiten] Herleitung

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Seriewiderstand. Der kapazitiver Widerstand des Kondensators und induktiver Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null.

$X_L + X_C = 0\,$

$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$

$2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C}$ , da gilt $\omega=2 \pi f\,$

$f_0^2 = {\frac{1}{4\pi^2LC}}$

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ , üblich ist auch die Form: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

[Bearbeiten] Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

$E_{\rm mag}(t)+E_{\rm el}(t) = E_{\rm Gesamt}\,$

$E_{\rm mag}\,$ : magnetische Feldenergie der Spule
$E_{\rm el}\,$ : elektrische Feldenergie des Kondensators
$E_{\rm Gesamt}\,$ : Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

$\frac{1}{2}LI^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t)=E_{\rm Gesamt}$

Aus

$I(t) = \frac{\Delta Q(t)}{\Delta t} = \dot Q$

folgt:

$\frac{1}{2}L\dot Q^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_{\rm Gesamt}$

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

$L\dot Q \ddot Q(t)+\frac{1}{C}Q \dot Q(t)=0$

$I(t)(L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t))=0$

$L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t)=0$ , da im Schwingkreis gilt: $I(t) \ne 0$ .

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen $Q(t)\,$ und $\ddot Q(t)$ herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

$Q(t) = \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi)$

$\dot Q(t) = \omega \hat Q \cdot \cos(\omega t + \varphi)$

$\ddot Q(t) = -\omega^2 \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 \cdot Q(t)$

$\hat Q$ : maximale Ladung (Amplitude)
$\omega\,$ : Winkelgeschwindigkeit
$\varphi$ : Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

$\frac{1}{C}Q(t)-\omega^2 L Q(t)=0$

$Q(t)( \frac{1}{C} - \omega^2 L)=0$

$\frac{1}{C} - \omega^2 L=0$ , da im Schwingkreis gilt: $Q(t) \ne 0$

Daraus folgt mit $ω = 2π f$ :

$\frac{1}{C} - 4 \pi^2 f_0^2 L=0$

$f_0^2 = {\frac{1}{4\pi^2LC}}$

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Die thomsonschen Schwingungsgleichung gilt allerdings nur für reine Serienschwingkreise und reine Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien gilt es, die Frequenz für die Erfüllung der folgenden Bedingung selbst herzuleiten:

$X_L = X_C\,$

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet - die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist.

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Kategorien: Theoretische Elektrotechnik | Physik

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[Bearbeiten] Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz

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