Diskussion:Satz vom ausgeschlossenen Dritten

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Dies ist nicht ganz dasselbe wie das Prinzip der Zweiwertigkeit, welches aussagt, daß jede Aussage entweder wahr oder falsch sein muß.

Inhaltsverzeichnis 1 Vergleich mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit 1.1 Antwort 1.2 Was ist nun der Unterschied zum Satz von der Zweiwertigkeit? 2 Einfügung des Artikels principium ... 3 Korrektur 4 Neutralität 5 Lemmata 6 So kanns nicht bleiben! 7 Nochmal: Hilbert war klug! 8 Absatz Intuitionismus eingefügt 9 Interpretationen 10 Nachfrage

[Bearbeiten] Vergleich mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit

Ich sehe keinen Unterschied. Kann das jemand genauer erklären?

-- tsor 11:59, 19. Mär 2004 (CET)

[Bearbeiten] Antwort

Ich probiers mal. Also erstens würde ich das Prinzip der Zweiwertigkeit anders ausdrücken, nämlich: Eine Aussage kann nicht zugleich wahr und falsch sein.

Satz vom Widerspruch: P ∧ ¬ P => #Falsch

Satz vom ausgeschlossenen Dritten: P ∨ ¬ P => #Wahr.

Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird nun üblicherweise ¬ P widerlegt, also ¬ P => #Falsch bewiesen und daraus P gefolgert:

¬ P => #Falsch

P ∨ &not P => #Wahr

-------------------------

:P

Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird der klassische Existenzbeweis geführt:

1. Annahme:

1. Die Annnahme wird zum Widerspruch geführt, d.h. es wird gezeigt:

.

1. Daraus wird nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten gefolgert:

.

D.h. es wird zwar bewiesen, daß die Annahme, es gebe kein x, falsch ist. Das x mit P(x) wird aber nicht konkret hergeleitet. D.h. man weiß zwar das es ein x gibt, aber nicht, welches; d.h. der Beweis ist nicht konstruktiv.

Klassischer Fall hierfür: Mittelwertsatz.

Sei f(x) stetige Funktion, a<b, und f(a) < f(b). Dann existiert für alle y mit f(a) <= y <= f(b) ein x mit f(x) = y.

Beweis siehe übliche Lehrbücher.

Die Richtung der Mathematik, die das Tertium non datur ablehnt, heißt Intuitionismus (begründet von Brouwer.

[Bearbeiten] Was ist nun der Unterschied zum Satz von der Zweiwertigkeit?

Der Satz von der Zweiwertigkeit (präziser: Satz vom Widerspruch) sagt, daß keine Aussage zugleich wahr und falsch sein kann: P ∧ ¬ P => #Falsch

Dieser Satz leuchtet im Gegensatz zum Tertium non datur sofort ein.

Ein Beispiel: Es leuchtet unmittelbar ein, daß ein bestimmter Fleck auf der Oberfläche eines Objektes nicht zugleich rot und blau sein kann. Das heißt aber noch nicht, daß es nur rot oder blau geben kann. Entsprechend gibt es Logiken, in denen es außer wahr und falsch noch anderer Wahrheitswerte geben kann (mehrwertige Logiken). In diesen Logiken gilt dann das Tertium non datur auch nicht.

-- shannon 14:58, 19. Mär 2004 (CET)

Langer Diskussion, kurzer Sinn, die Sache lässt sich einfach auflösen. Klingt paradox, ist aber so: Es gibt mehrwertige Logiken, in denen tertium non datur gilt. Anzunehmen, dem wäre nicht so, ist der fundamentale Denkfehler. Betrachte z.B. die vierwertige Logik, bei der die Wahrheitswerte Paare (gestern wahr, heute wahr) sind. Intuitiv, wenn nun ¬ alle Wahrheitswerte invertiert, ∨ sie elementweise verknüpft, so sind die Wahrheitswerte von P und ¬P komplementär, und P ∨ ¬P vollständig wahr (beide Tupelemente wahr). => tertium non datur erfüllt trotz Mehrwertigkeit. Lasse den formalen Beweis mal aus, dass alle zur Herleitung von tertium non nötigen Axiome bei dieser Logik erfüllt sind (sie sind es). Also:

1. tertium non datur: Abstraktes Gesetz, das die Mehrwertigkeit nicht ausschließt und bei dem die Intuition "es gibt kein drittes" nur für die zweiwertige Logik stimmt.
2. Prinzip der zweiwertigkeit: die tatsächliche Beschränkung auf wahr und falsch als Wahrheitswerte.
3. Satz vom Widerspruch: wieder etwas anderes; dualer Satz zum tertium non datur.

--Rtc 02:34, 21. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Einfügung des Artikels principium ...

Ich hab den Doppeleintrag principium.. einfach mal platt hiermit reingestellt und hierhin ein redirect gesetzt. Der zweite Artikel ist in der philosophischen Tradition, die Formeln und Kalküle, mathematische Symbole etc. scheut wie der Teufel das Weihwasser und damit natürlich auch nicht verständlicher ist. Statt Gegeben seien x, y und z, mit x+y=z wird gesagt: dieses etwas, jenes etwas und ein weiteres etwas, welches sich durch Hinzufügen des ersten an das zweite etwas ergibt u.ä. Dennoch sind solche Texte in der Regel besser, wenn es um die Geschichte geht, habe daher den Link auf die Denkgesetze zusätzlich eingefügt. Wie man hier in der Wikipedia aber sowas wie zeitgemäßes Allgemeinverständliches zur Logik hinkriegt, weiß ich auch nicht. --Hansjörg 21:45, 15. Jul 2004 (CEST)

Da dieser Artikel exklusiv unter Logik eingeordnert ist, habe ich den philosophieteil weiterverschoben auf den unter Philosophie eingeordneten, mir besser erscheinenden Artikel Denkgesetze. In der englischen Wikipedia ist es grob genauso. --Rtc 21:21, 19. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Korrektur

Im Artikel wurde behauptet, das, weil bei einer Aussage "p" weder die Aussage selbst, noch ihre negation bewiesen ist, das Prinzip tertium non datur "problematisch" würde.(was soll eigentlich "problematisch" in diesem Zusammenhang bedeuten?!) Diese Behauptung ist sozusagen grottenfalsch, daher habe ich den Artikel ensprechend ergänzt.

"Problematisch" heißt in diesem Zusammenhang, dass unter den Mathematikern strittig ist, ob dieser Satz ein logische Wahrheit ist. Es gibt eine Mehrheit, die das meint, und eine Minderheit, die es bestreitet. Schließlich gibt es noch eine große Gruppe, die meint, man solle sich um "richtig" oder "falsch" in diesem Zusammenhang nicht kümmern, es gehe einfach um verschiedene Axiomensysteme, aus denen sich verschiedene Folgerungen ergeben.

Du schreibst:

"Achtung: das im oberen Beispiel bisher weder "p" noch "nicht p" bewiesen werden konnten, berührt "tertium non datur" überhaupt nicht, da unbestritten entweder eine solche Darstellung aus Primzahlen möglich ist oder eben nicht; und genau letzeres sagt tertium non datur!"

"unbestritten" ist das nun nachweislich nicht.

Du schreibst:

"Wenn es eine gerade Zahl a>2 gibt, so das a nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, dann stimmt nicht, das sich jede gerade Zahl als solche Summe darstellen läßt, und umgekehrt."

Ein Intuitionist würde erwidern: Bei keiner deiner beiden Sätze ist die Prämisse erfüllt: Weder "gibt es" eine ... Zahl a, die nicht als Summe ... dargestellt werden kann (denn mit "es gibt sie" meint der Intuitionist: jemand kann sie nennen!), noch sind nachweislich alle ... Zahlen als Summe ... darstellbar. Denn (und das sagt nicht nur der Intutionist) nur was bewiesen ist, darf als wahr bezeichnet werden. Solange diese Situation andauert, so schließt er, darf auch dein Satz nicht als wahr bezeichnet werden.

Du schreibst:

"Es gibt viele Vermutungen, die noch nicht bewiesen sind, doch für jede von Ihnen gilt: Sie stimmt oder Sie stimmt nicht ;-)."

Ein Intuitionist würde dies als "Glaubenssatz" bezeichnen. Beweisen läßt sich: Deine Behauptung lässt sich nicht aus den übrigen Axiomen der Aussagenlogik herleiten. Wenn sie gelten soll, muss man sie (oder eine eng verwandte Behauptung) als Axiom "postulieren".

Du schreibst:

"...(Stichwort vollständige Induktion) mit diesem Argument ("...weil [es] unendlich viele sind") wäre keine Aussage über reelle Zahlen möglich"

Natürlich gibt es die vollständige Induktion und viele andere Verfahren, die einwandfrei beweisen, dass eine bestimmte Aussage für unendlich viele Zahlen gilt. Aber für die Goldbach'sche Vermutung gibt es kein solches Verfahren. Und für ihre Negation auch nicht.

Die Abschnitte, die du hier angreifst, wollen nicht die Beweisverfahren der Mathematik einschränken, sondern nur illustrieren, dass er Beweis von P und der Beweis von ¬P zwei grundsätzlich verschiedene Aufgaben sind und nicht jedermann die Überzeugung teilt, eine von beiden müsse in jedem Fall lösbar sein.

Da schreibst du nun: "der Satz (vom tertium non datur) sagt nichts über mögliche Beweisbarkeit von "P" ("nicht P")aus, er sagt lediglich: ist "a" wahr, dann ist "nicht a" falsch und vice versa!

Intuionisten würden da lesen: Es gehe (jedenfalls für a=P) nicht um Beweisbarkeit, sondern um Wahrheit. Wer Wahrheit außerhalb der Beweisbarkeit sucht, verlasse aber den Bereich der Mathematik.

Um auf den Artikel zurückzukommen: Dieser besagt nichts über die "Wahrheit" des "tertium non datur"! Er will lediglich ein Problem mit langer philosophie-geschichtlicher Tradition darstellen. Wenn du meinst, dass dies nicht von einem neutralen Standpunkt aus geschieht, sind deine Korrekturen willkommen. Wenn du darlegen willst, einer dieser Standpunkte sei absurd, musst du das anderswo tun als in wikipedia.

Vorläufig habe ich deine Änderungen mal rückgängig gemacht.

-- Peter Steinberg 23:38, 17. Jul 2005 (CEST)

"Problematisch" heißt in diesem Zusammenhang, dass unter den Mathematikern strittig ist, ob dieser Satz ein logische Wahrheit ist. Es gibt eine Mehrheit, die das meint, und eine Minderheit, die es bestreitet. Schließlich gibt es noch eine große Gruppe, die meint, man solle sich um "richtig" oder "falsch" in diesem Zusammenhang nicht kümmern, es gehe einfach um verschiedene Axiomensysteme, aus denen sich verschiedene Folgerungen ergeben.

Was Mathematiker persönlich denken ist irrelevant. Bezüglich den Mathematikern in ihrer Funktion als solche gibt es per Definition nur welche von der letztgenannten 'Gruppe' -- sie erheben nicht den Anspruch, die Frage nach der Wahrheit des Satzes zu beantworten. Sie nehmen seine Wahrheit axiomatisch an, ohne sich überhaupt Gedanken darüber zu machen, ob er nun wahr oder falsch ist. Diese Frage wird in der Mathematik einfach offengelassen. Dies ist ein häufig auftauchendes Missverständnis. Die Philosophen streiten sich auch nicht darüber, sie stellen nur fest, in welcher Weltanschauung der Satz plausibel ist. Die einzigen Leute, die sich streiten sind Idealisten, die behaupten, ihre eigene Weltanschauung sei die einzig richtige.

"unbestritten" ist das nun nachweislich nicht.

Es ist meiner Meinung nach nicht Aufgabe der Wikipedia, wissenschaftlich gesehen irrelevante Strittigkeiten zwischen Idealisten zu dokumentieren.

Ein Intuitionist würde dies als "Glaubenssatz" bezeichnen.

Glauben ist irrelevant. Man muss an eine Logik nicht glauben, um sie anzuwenden. Du gibst Dingen emotionale Färbung, die für die Diskussion irrelevant ist.

Natürlich gibt es die vollständige Induktion und viele andere Verfahren, die einwandfrei beweisen, dass eine bestimmte Aussage für unendlich viele Zahlen gilt. Aber für die Goldbach'sche Vermutung gibt es kein solches Verfahren. Und für ihre Negation auch nicht.

Kein solches ist bekannt, was nicht heißt, dass es ein solches nicht gibt.

Die Abschnitte, die du hier angreifst, wollen nicht die Beweisverfahren der Mathematik einschränken, sondern nur illustrieren, dass er Beweis von P und der Beweis von ¬P zwei grundsätzlich verschiedene Aufgaben sind und nicht jedermann die Überzeugung teilt, eine von beiden müsse in jedem Fall lösbar sein.

Dann sollte das zu den Beschreibungen der jeweiligen Weltanschauungen geschrieben werden, aber nicht die Weltanschauung in diesen Artikel.

Um auf den Artikel zurückzukommen: Dieser besagt nichts über die "Wahrheit" des "tertium non datur"! Er will lediglich ein Problem mit langer philosophie-geschichtlicher Tradition darstellen. Wenn du meinst, dass dies nicht von einem neutralen Standpunkt aus geschieht, sind deine Korrekturen willkommen. Wenn du darlegen willst, einer dieser Standpunkte sei absurd, musst du das anderswo tun als in wikipedia.

Die Wikipedia ist in diesem Punkt erklärterweise nicht neutral. "Daher sollte das Ziel darin bestehen, eine für alle rational denkenden Beteiligten akzeptable Beschreibung zu formulieren." Dies bedeutet, dass die Beschreibung in der Wikipedia der klassischen Logik folgen muss, nicht der intuitionistischen. 99% der Leser denken klassisch-logisch und können aus den Beschreibungen nur eine Erkenntnis ziehen, wenn sie auch in dieser logik geschrieben wurden. Da aber jedes Argument gegen die Klassische Logik unter der Annahme ihrer Konsistenz von diesem Standpunkt aus ihr widerspricht und somit gemäß ihr selbst falsch ist, dürfen solche Argumente in der Wikipedia nicht stehen. Täte man es doch, enthielte die Wikipedia Aussagen, die ihren erklärten Grundsätzen widersprechen würden (dass die Beschreibung für alle rational denkenden Beteiligung akzeptabel ist). Es hat aber sicherlich niemand etwas dagegen, wenn Du eine Intuipedia startest, die im Gegensatz zur Wikipedia den Grundsatz verfolgt, dass die Beschreibungen für intuitionistisch denkende Menschen akzeptablen sein müssen.

PS: Meine Darlegungen erfolgten alle aufgrund klassischer Logik. Bitte lies sie in diesem Kontext und falls Du antwortest, benutze Folgerungen, welche nach der klassischen Logik erlaubt sind, auch wenn Du persönlich nicht an diese Logik glauben solltest. Sonst wäre diese Meta-Diskussion für mich sinnlos, da sie mir keine Erkenntnisse brächte.

--Rtc 01:52, 18. Jul 2005 (CEST)

Ich habe überhaupt keine Problem, nur Folgerungen zu benutzen, die nach der klassischen Logik erlaubt sind, obwohl ich nicht an diese Logik "glaube" (was imer das auch heißen soll). Nur postuliert die klassische Logik noch ein paar mehr Sätze, als mir einleuchten. Zum Beispiel das "Tertium non datur". -- Peter Steinberg 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

An Peter Steinberg

Nun, da ich den Intuitionismus nicht kenne, kann ich wenig dazu sagen, und ich würde diesen daher auch nicht absurd nennen; das im Artikel gewählte Beispiel habe ich aus den erwähnten Gründen falsch genannt.

Um das nochmal aufzugreifen:

Auf meine Aussage "da unbestritten entweder eine solche Darstellung aus Primzahlen möglich ist oder eben nicht" meintest Du, das dies eben nicht unbestritten wäre. Nun, dann nenne mir die dritte Möglichkeit - denn das es eine solche in diesem konkreten Fall nicht gibt, ist die einzige Aussage des Prinzips "Tertium non datur"; gibt es sie doch, dann hast Du Recht, das Beispiel stimmt und Du kannst mir die dritte Möglichkeit nennen.

Hic Rhodos hic salta. Schabadu

Es ist müßig, mit klassisch-logischen Argumenten gegen die intuitionistische Logik zu argumentieren. Sie lässt einfach Widersprüche zu. Du könntest sie klassisch-logisch mit einem Widerspruch widerlegen und hättest doch intuitionistisch-logisch nichts widerlegt, sondern nur einen Satz gefunden, der weder wahr noch falsch ist. --Rtc 02:21, 18. Jul 2005 (CEST)

Nun, die "dritte Möglichkeit" ist genau die, die wir bei der Goldbachschen Vermutung haben: Weder gibt es einen Beweis dafür (also kann ich sie nicht "wahr" nennen), noch gibt es eine Widerlegung (also kann ich sie nicht "falsch" nennen).

@Rtc: Die intuitionistische Logik lässt keine Widersprüche zu. A∧¬A ist auch inutitionisch-logisch falsch. Richtig ist, dass sie Widerspruchsbeweise nicht zulässt, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist: (¬A→f) → A ist keine intustionistisch-logische Wahrheit.

-- Peter Steinberg 23:53, 18. Jul 2005 (CEST)

Nun, die "dritte Möglichkeit" ist genau die, die wir bei der Goldbachschen Vermutung haben: Weder gibt es einen Beweis dafür (also kann ich sie nicht "wahr" nennen), noch gibt es eine Widerlegung (also kann ich sie nicht "falsch" nennen).

Nun, dann weißt Du mehr als die Mathematik. Es gibt tatsächlich solche Sätze für die weder ein Beweis existiert noch ein Beweis für das Gegenteil (siehe Unvollständigkeitssatz), aber es hat noch niemand gezeigt, dass die Goldbachsche Vermutung ein solcher Satz ist. Richtig ist hingegen, dass noch niemand einen Beweis des Satzes oder des Gegenteils gefunden hat. Aber das, wie Du sicher leicht einsehen wirst, sagt nichts über die Existenz eines solchen Beweises aus.

Mit "Es gibt keinen Beweis..." meine ich: Niemand hat einen solchen Beweis gefunden. Das sagt schon etwas über die Existenz eines solchen Beweises aus: Nämlich dass niemand diese Existenz behaupten kann. -- Peter Steinberg 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

Ich behaupte hiermit, dass ein solcher Beweis existiert.

Wie Du siehst, stimmt es nicht, dass es niemand kann, ich kann es nämlich, habe es ja grade getan. Behaupten kann man vieles, wenn der Tag lang ist.

--Rtc 23:07, 20. Jul 2005 (CEST)

@Rtc: Die intuitionistische Logik lässt keine Widersprüche zu. A∧¬A ist auch inutitionisch-logisch falsch. Richtig ist, dass sie Widerspruchsbeweise nicht zulässt, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist: (¬A→f) → A ist keine intustionistisch-logische Wahrheit.

Ich kenne mich nicht genügend mit der inutitionischen Logik aus, um dem zuzustimmen oder zu widersprechen. Fakt ist jedoch, dass es unterschiede zwischen intuitionistischer und normaler Logik gibt und die BEschreibung der intuitionistische Logik in der Wikipedia mit Sätzen geschehen muss, die normaler Logik folgen.

--Rtc 21:07, 19. Jul 2005 (CEST)

Du sagst: "A∧¬A ist auch [intuitionistisch]-logisch falsch" <=> ¬(A∧¬A)<=> A → A

Andererseits sagst Du weiterhin:"(¬A→f) → A ist keine [intuitionistisch]-logische Wahrheit" jedoch ist (¬A→f)<=> ¬¬A also hast du im letzten Zitat gesagt ¬(A → A )

damit hast Du oben gesagt :A→A

und unten: ¬ (A→A)

-- also doch (A→A)∧¬(A→A) oder wie?

oder willst Du sagen: wenn etwas nicht intuitionistisch-logisch wahr ist, ist es deswegen nicht intutionistisch-logisch falsch ? schabadu

P.S.: Diese "dritte Möglichkeit" trifft nicht, es ist egal, ob ich die Goldbachsche Vermutung wahr oder falsch oder keines von beiden nennen kann, das einzige was tertium non Datur sagt, ist:

falsch ist, das, wenn die Vermutung nicht Wahr ist, es falsch ist, das sie falsch ist (siehe: Wahrheitstafel).

schabadu

Hm, Du verwendest die Axiome der klassischen Logik um irgendwelche Schlussfolgerungen über die zu intuitionistische logik zu treffen, das ist müßig wie bereits mehrmals erwähnt.

Du sagst: "A∧¬A ist auch [intuitionistisch]-logisch falsch" <=> ¬(A∧¬A)<=> A → A

Du hast einige Zwischenschritte ausgelassen und meinst vermutlich ¬(A∧¬A) <=>... <=> A →¬¬A <=> A → A. Jedoch ist in der intuitionistischen logik der letzte Schritt nicht möglich, da es dort im Gegensatz zur normalen Logik das Axiom ¬¬A => A nicht gibt.

--Rtc 21:07, 19. Jul 2005 (CEST)

"Du hast einige Zwischenschritte ausgelassen..." Nein, denn die Äquivalenz ist direkt aus den Wahrheitstafeln der jeweiligen Aussagen ersichtlich, daher sind keine Zwischenschritte nötig (man kann welche benutzen, aber die sind absolut trivial).

und hier nochmal ganz langsam, nur von wegen "Zwischenschritte".Also nicht von wegen "gilt das oder nicht in Logik 1 oder 2".

A |B |¬(A∧¬B)|A=>B|

W |W | W |W

W |F | F |F

F |W | W |W

F |F | W |W

Die Tafel sagt laut und deutlich: ¬(A∧¬B)<=> A→B.:

Da das für beliebige A,B gilt, darf ich B=A setzen ... et voilà: ¬(A∧¬A)<=> A=>A

Warum eigentlich "vermutlich"? Ist die Aussage, die Du dann 1:1 wiederholst, schwer zu verstehen?

Und der letzte Schluss ist kein Schluss, sondern eine Äquivalenz; sozusagen 1<=>1.

Gilt natürlich nur in der klassischen Logik.

P.S. in der klassischen Logik heißt das: "¬¬A = A", nicht: "¬¬A => A"

Schabadu

Hi, Du verwendest zum Ausrechnen der Wahrheitstafel die Denotationsfunktion der klassischen Logik. Du musst, falls es eine gibt (ich kenne mich bis auf die Unterschiede bei den Axiomen mit Intuitionistischer Logik nicht aus), die Denotationsfunktion der intuitionistischen Logik verwenden, um die Gültigkeit der Formel für den Intuitionismus zu beweisen. Normalerweise führt man übrigens Beweise mittels Folgerungen aus Axiomen. Dass irgendwelche Gleichheiten in einer Wahrheitstabelle, die Mithilfe einer Denotationsfunktion ausgerechnet wurde, irgendeine Aussage treffen ist garnicht mal so einfach zu beweisen.

¬¬A = A ist im übrigen keine gültige Formel der klassischen Logik. Vielleicht bei der Logikvorlesung nicht aufgepasst? ;)

--Rtc 23:01, 20. Jul 2005 (CEST)

Hallöchen mal wieder, wie Du Dir wahrscheinlich schon gedacht hast, fällt mir zu Deinen Einwänden das ein oder andere ein.

Zunächst mal zu "Normalerweise führt man übrigens Beweise...". Das stimmt so nicht.

Denn Wahrheitstafeln und Formalismus sind insofern äquivalent, als die Axiome des letzteren durch die Tafeln definiert werden.

Nein, das stimmt schon. Da liegt bei Dir ein grundlegendes Missverständnis vor. Man definiert die Axiome nicht über die 'Wahrheitstafeln' (Du meinst denotationsfunktion), sondern umgekehrt zeigt Eigenschaften der denotationsfunktion über die Axiome. Die Definition der Denotationsfunktion wäre extrem redundant, und eine Axiomenmenge sollte keine solchen Redundanzen enthalten. Wie es gemacht wird siehe Systeme natürlichen Schließens. Überhaupt ist die Denotationsfunktion eben grade lt. Unvollständigkeitssatz bei hinreichend mächtigen axiomatischen Systemen nicht mehr berechenbar. --Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Weiterhin besteht formal eine Bijektion zwischen Wahrheitstafeln und Formalismus, also sind Beweise mittels Tafeln äquivalent mit solchen, die per Formalismus (Kalkül) geführt werden.

Behaupte ja garnicht das Gegenteil, aber diese Äquivalenz ist nicht so offensichtlich und wenn es um andere als die klassische Logik geht, sieht die Denotationsfunktion meist völlig anders aus und sie lässt sich oft auch nicht so ohne weiteres angeben.. Übrigens sind auch Wahrheitstafeln ein Kalkül.--Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Analog werden zum Beispiel Äquivalenzen zwischen Operatoren im Hilbertraum (bez. einer festen Basis) und darstellenden Matritzen gezeigt, indem man die Wirkung von Operator und Matrix auf die Elemente der jeweiligen Menge vergleicht. Dieses Verfahren enspricht dem Vergleichen von Wirkung des Formalismus auf die Aussagen (A,B...) und Darstellung der möglichen Werte als Wahrheitstafel.

Ich denke auch nicht, das eine Diskussion über die zuordnende Funktion f(A)=W bzw f(A)=F nötig ist(ich weiß, klassisch..), diese ist einfach zu trivial.

NUR im Fall der klassischen Logik. Die Denotationsfunktion der intuitionistischen Logik ist soweit ich es verstanden habe garnicht für alle Formeln definiert.

Der Sinn meines Kommentares war, zu zeigen, das offensichtlich mit intuitionistischer Logik es möglich ist, in ein und demselben Artikel zu sagen "A∧¬A" gilt nicht und gleichzeitig zu sagen "¬¬A→A" gilt nicht.In meinen Augen gibts hier nen klitzekleines Konsistenzproblem.

Du verwechselst Wahrheit mit Beweisbarkeit bzw. benutzt Gültigkeit für beides synonym. A∧¬A ist nicht wahr, weil ¬(A∧¬A) beweisbar ist. ¬¬A→A ist weder beweisbar, noch widerlegbar, weil mit intuitionistischer Logik weder ¬¬A→A noch ¬(¬¬A→A) bewiesen werden können. Deshalb ist ¬¬A→A weder wahr noch falsch. Und deshalb gibt es kein Konsistenzproblem. Also nicht Beweisbarkeit mit Wahrheit verwechseln. Übrigens gibt es auch in ZFC Sätze, die weder bewiesen noch widerlegt werden können, siehe Unvollständigkeitssatz. Das ist also nichts wirklich ungewöhnliches und keine Eigenheit der intuitionistischen Logik.--Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Und zuletzt: vielleicht hätte ich besser "¬¬A<=>A" geschrieben, ich fand den anderen Term ein wenig ausdrucksstärker.

P.S.: Nichts liegt mir ferner, als weiter über Gültigkeit oder Nichtgültigkeit der Logiken zu schwadronieren (werd ich jetzt auch nicht mehr tun), auffällig ist einfach, das im oberen Artikel selbst Wert darauf gelegt wird, Aussagen à la "¬A→A;" zu vermeiden was doch eigentlich intuitionistisch gesehen unproblematisch sein sollte !? Naja, wie auch immer... Grüße Schabadu

Letzter Kommentar von mir zu Deinen Anmerkungen und diesem Thema: Du vergleichst Äpfel mit Birnen, und anstatt konkreter Aussagen kommen schwammige Erzählungen.

Ich kann nichts schwammiges erkennen und ich vergleiche auch nicht Äpfel mit Birnen. Ich wollte nur aufzeigen, warum Deine Folgerungen so falsch sind.

Und sei ein bißchen vorsichtiger mit "Du verwechselst .." und "...Mißverständnis...", Herr Lehrer,ich habe z.B.: nirgendwo gesagt, das Wahrheitstafeln kein Kalkül seien (bißchen exakt bleiben, ja?) und zur Definitionsgeschichte... denk mal selber nach.

Und das Du klassische Logik (ge)brauchst, um in deinen Artikeln zu argumentieren, ist Dir wohl auch noch nicht aufgefallen, was?

Ein Grundsatz der Wikipedia ist es, dass man für rational (IMO klassisch logisch) denkende Menschen schreibt. Du wirst doch nicht sagen wollen, dass man hier nur intuitionistische Logik gebrauchen darf, wenn man mit Dir diskutiert? Dann, tut mir leid, bin ich nicht mehr bereit, an der Wikipedia weiter mitzuarbeiten, ich sehe den ganzen Intuitionismus und Konstruktivismus sowieso schon kritisch, aber dazu *zwingen*, seine Methodik zu benutzen lass ich mich nicht.--Rtc 22:50, 21. Jul 2005 (CEST)

Schabadu

[Bearbeiten] Neutralität

Inzwischen stehen in diesem Artikel keine Hinweise mehr darauf, dass der Satz zum Teil heftig umstritten ist. Zudem wird er hier nur begründet und plausibel gemacht, anstatt auch mit Beispielen zu zeigen, dass Kritiker und Bezweifler dieses "Satzes" nicht nur Widersprüche aufstellen wollen.

Neutralitätsbotton gesetzt. PaCo 19. Juli 2005 18:54 CEST

Nochmal. Was für eine Neutralität des Artikels mindestens erwähnt werden muss ist der Inhalt des folgenden Absatzes:

"Some logics do not accept the law of excluded middle, most notably en:intuitionistic logic. The article en:bivalence and related laws discusses this issue in greater detail."

aus dem englischen Artikel en:law of excluded middle PaCo 19. Juli 2005 19:54 CEST

Dieser Aussage ist ihrerseits nicht neutral. Ein neutraler Standpunkt kritisiert diesen satz nicht. Er erwähnt nur, dass es verschiedene Logiken gibt und er in manchen nicht gilt. Es ist übrigens durchaus ein Satz im Mathematischen Sinn, kein Grund das Wort in Anführungszeichen zu setzen.

Die alte 'Kritik' steht jetzt bei Intuitionismus. Die momentane Situation stellt ein falsches Bild dar, in wirklich fast jedem Artikel über Logik steht fast mehr Pseudokritik an der klassischen Logik und Verweise auf Intuitionismus drin als brauchbare Informationen. Die englischen Artikel sind da bereits bedeutend neutraler. Es gilt, Philosophie und Formalismus strikt zu trennen.

Ich werde Intuitionismus nicht mehr direkt verlinken, sondern auf eine einigermaßen neutrale seite, die bereits existiert und welche die Eigenschaften der verschiedenne Logiken auflistet.

Ansonsten bitte Geduld. Ich bin grade dabei, den Artikel grundlegend zu überbearbeiten. Bin nicht der schnellste. --Rtc 20:09, 19. Jul 2005 (CEST)

Artikel jetzt neutralisiert. Philosophisches zu einem Artikel im Philosophiebereich verschoben. Bei Einwänden bitte bescheid sagen. --Rtc 20:28, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich denke, es ist nicht konstruktiv, sich hier gegenseitig mangelnde Neutralität vorzuwerfen. Die grundsätzliche Frage sollte in einer Diskussion an einer zentralen Stelle geklärt werden, z.B. Wikipedia:Artikel, die etwas mehr Neutralität benötigen, oder Portal Diskussion:Mathematik. Die Diskussion sollte später leicht wiederzufinden sein, da die Frage, wie die konstruktive Mathematik berücksichtigt werden soll, mit Sicherheit wieder auftauchen wird.--Gunther 20:05, 19. Jul 2005 (CEST)

Für mich ist die Zusammenarbeit sehr schwierig. Es ist nicht zu akzeptieren, die axiomatische Methode als alleinseeligmachend hinzustellen. Das ist durchaus nicht neutal!--PaCo 20:39, 19. Jul 2005 (CEST)

Dieser Artikel ist unter Logik eingeordnet, deshalb behandelt er ausschließlich die axiomatische Methode. Den philosophischen Standpunkt habe ich nach Denkgesetze verschoben, der unter Philosophie eingeordnet ist. Diese Trennung zwischen Logik und Philosophie ist IMHO korrekt und erwünschenswert, z.B. in der englischen Wikipedia schon viel mehr realisiert als hier und IMHO im Sinne der Leser. --Rtc 21:15, 19. Jul 2005 (CEST)

HAbe die änderungen von Paul Conradi rückgängig gemacht:

Umgekehrt gibt es jedoch auch Logiken, die ohne das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten auskommen.

Dieser Satz ist emotional gefährbt. Entweder lässt sich der Satz aus einer Logik ableiten, oder nicht, 'kommt ohne aus' ist unsachlich und ideologisch.

Umstritten ist dies Prinzip

für die Aussagen, die aus Quantoren mit unkonstruierten unendlichen Definitionsmengen bestehen

bei Aussagen über die Zukunft oder die Vergangenheit

Das hängt von der Verwendeten Logik ab. Es kann unter weltanschaulichen fundamentalisten umstritten sein, welche Logik 'die richtige' ist, aber die konzepte an sich sind völlig neutral.

in der Fuzzy-Logik

Er ist dort nicht umstritten sondern er gilt dort schlicht und ergreifend nicht. Steht aber schon auf der Seite zum Wahrheitswert

im Intuitionismus

Dass er dort bestritten wird ist ein philosophischer Aspekt und sollte wenn, dann auf der philosophischen Seite Denkgesetze diskutiert werden.

Weitere Details dazu finden sich im Artikel über den Wahrheitswert.

Dieser hinweis genügt völlig, um erschöpfend zu beschreiben, wo die unterschiede zwischen den einzelnen logiken auf formaler seite sind sind. Ein neutraler Standpuntk ist es *nicht* bei jedem Thema alle nur erdenklichen standpunkte explizit im artikel aufzuzählen. Bitte lass den artikel so wie er ist, ich denke die neutralität ist nun wirklich nicht mehr zu überbieten. Wenn Du philosophische Askepte hast, dann füge die bitte unter Intuitionismus oder Denkgesetze hintzu. Danke --Rtc 21:43, 19. Jul 2005 (CEST)

Es gibt keine philosophiefreie Logik. Du hast Dich mit Deiner trennung total verrannt.--PaCo 21:51, 19. Jul 2005 (CEST)

Grade deswegen sollte es streng getrennt werden, weil es sonst in dem Artikel in einem Ideologiekrieg auf Kosten der formalen Beschreibung ausarten würde. Bei der englischen Wikipedia ist die Trennung in Logikartikeln jedenfalls schon viel deutlicher zu sehen als hier. Dort sind Intuitionismus (Philosophie) und Intuitionistische Logik (Formalismus) inzwischen z.B. getrennt während es in der deutschen Wikipedia noch oft synonym verwendet wird und auch nur eine Seite für beides exisitert. --Rtc 22:06, 19. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Lemmata

Ich nehme an, dass Einigkeit darüber herrscht, dass es nur einen Satz vom ausgeschlossenen Dritten gibt. Deshalb sollte dieser eine Satz auch in einem Artikel dargestellt werden.--Gunther 23:56, 19. Jul 2005 (CEST)

Wenn es aber zwei gibt, muss eine sehr strikte Trennung sein. Auf keinen Fall dürfen sie aufeinander verweisen. ;) --PaCo 23:59, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich denke, Du weißt, was ich meine.--Gunther 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

Ja. :) Und ich denke Du weißt, dass ich Deiner Meinung bin.--PaCo 00:14, 20. Jul 2005 (CEST)

Es gibt leider zwei fundamental unterschiedliche Auffassungen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, und zwar einmal eine philosophische und dann die formale. Eine Zusammenfassung in einen Artikel hat sich in der Vergangenheit als problematisch erwiesen; die beiden Aspekte wurden zu sehr vermischt. Deshalb hatte ich die philosophischen Aspekte wie in der englischen Wikipedia nach Denkgesetze verschoben, von wo sie nun jemand analog ähnlicher Artikel aus der englischen Wikipedia in einen Philosophie-Artikel aufgesplittet hat. --Rtc 00:23, 20. Jul 2005 (CEST)

Das wäre ja ein Weltuntergang. Zwei Auffassungen in einem einzigen Artikel. Schlimmer als der 11. September--PaCo 00:30, 20. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] So kanns nicht bleiben!

Danke Flominator, für deinen Tag. Leider ist es aber so: Aus keinem der gegenwärtigen Artikel kann irgendjemand entnehmen, worum es bei der Frage des "tertium non datur" eigentlich geht, nämlich:

• dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen;
• dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst);
• dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei. Daraus folgen dann unterschiedliche Systeme logischen Schliessens.

Ähnlich sieht es bei anderen Begriffen aus, die mit den Grundlagen der Mathematik zu tun haben: Es ist alles ganz wirr und unverständlich, obwohl lange und erbittert darüber diskutiert worden ist.

Ich bin gespannt, wie wikipedia diess Problem löst.

(Wenn ich kann, misch ich mich auch ein.) -- Peter Steinberg 01:42, 9. Sep 2005 (CEST)

Die von Dir gebrachten Punkte stellen den intuitionistischen Standpunkt dar, ein Satz wäre nur wahr, wenn man ihn beweisen kann und die disjunktion sei nur wahr, wenn mindestens eine der beiden teilaussagen beweisbar ist. Dieser Standpunkt ist neutral durch den folgenden Satz dargestellt: "Umgekehrt gibt es jedoch auch zwei- und mehrwertige Logiken, aus deren Axiomen er sich nicht ableiten lässt. Details dazu finden sich im Artikel über den Wahrheitswert." Dieser Satz stellt keine Logik unverhältnismäßig als einzige alternative dar und trifft keine philosophischen Wertungen, so wie es Deine Darstellung tut und wahrt deshalb die Neutralität. Wenn Du eine genauere Erklärung des Standpunktes bezüglich des tertium non datur hinzufügen willst, tust Du das wohl am besten bei Intuitionismus.

Konstruktive Mathematik ist nicht wirr. Der Artikel ist im Gegenteil nun in einer einigermaßen slangfreien Fassung, bei der man zumindest versteht, was gemeint ist. Ich habe gestern noch einen Literaturverweis auf eine Quelle aus einem wissenschaftlichen Fachjournal hinzugefügt, aus der sich bestimmt noch einige Sachverhalte nehmen lassen, die den Artikel bereichern können.

Der Artikel über KM ist momentan nicht perfekt, das ist klar. Aber es ist auch nicht einfach, ihn besser zu machen. Ergänzungen sind natürlich immer willkommen, aber es wäre gut, wenn Du inhaltliche Änderungen vorher auf der Diskussionsseite besprechen könntest. --Rtc 12:46, 9. Sep 2005 (CEST)

Ich habe keinen "Standpunkt dargestellt", sondern drei Tatsachen benannt, die meines Wissens außer dir niemand bestreitet. Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du mal erklärst, welche der drei Aussagen du für falsch hältst:

1. dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen? - oder
2. dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst)? - oder
3. dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei? -

oder mehrere davon? -- Peter Steinberg 23:05, 10. Sep 2005 (CEST)

Ich würde gerne das "deshalb" in 3 anzweifeln. Wenn Du es so angehst, ist der Grund für 3 eher darin zu suchen, dass Du und ich verschiedene Interpretationen der Formel wählen. "A ist beweisbar oder nicht-A ist beweisbar" ist im allgemeinen falsch, keine Frage. "A ist wahr oder nicht-A ist wahr" ist innerhalb der konventionellen Logik wahr, auch wenn dieses "wahr" relativ wenig mit dem philosophischen Wahrheitsbegriff zu tun hat, zumindest insofern als manchen Aussagen keine "absolute" Wahrheit zukommt. Man könnte sagen, sie sind sowohl wahr als auch falsch, nur nicht gleichzeitig ;-) --Gunther 00:29, 11. Sep 2005 (CEST)

Ok, ok, aus meiner Sicht wird das immer besser:

" dass es verschiedene Interpretationen der Formel gibt, von denen einige darauf hinauslaufen, dass dies keine logische Wahrheit sei." - Oder so ähnlich.

Nur: wie kommen wir mit unserem Neo-Platonisten Rtc zu Rande? -- Peter Steinberg 01:06, 11. Sep 2005 (CEST)

Ich verstehe jetzt nicht, wo das Problem ist. Im Artikel wird doch erwähnt, dass es Logiken gibt, in denen tertium non datur nicht herleitbar ist. In einer Form, die ihrer Relevanz im Bezug auf die klassiche Logik mehr als gerecht wird. Darüber hinaus könnte ich nur wiederholen, was Gunther gesagt hat.

--Rtc 20:19, 11. Sep 2005 (CEST)

@Rtc: Dass du nicht verstehts, wo das Problem ist, habe ich schon bemerkt. Vielleicht versuchts du einfach mal, auf meine Frage zu antworten:

Welche der drei Aussagen hältst du für falsch:

1. dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen? - oder
2. dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst)? - oder
3. dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei? -

oder mehrere davon?

Gunther hat schon geantwortet, dass ihn das "deshalb" in Behauptung 3 nachdenklich macht. Darüber kann man reden. Und nun du? -- Peter Steinberg 01:19, 13. Sep 2005 (CEST)

Ich habe bereits erwähnt, dass ich nur wiederholen könnte, was Gunther gesagt hat. Ich bitte Dich, vernünftig und konstruktiv zu diskutieren und mich nicht als Neo-Platonisten oder jemand, der nicht versteht, wo das Problem ist zu bezeichnen (in anderer Bedeutung als meine aussage, ich verstehe jetzt nicht, wo das problem sei). So kommen wir nicht weiter. Es ist schön, dass Du wieder mitarbeitest; wenn Du jedoch alte Diskussionen wieder aufwärmen willst, dann erwarte nicht sonderlich große Begeisterung und Beteiligung von mir. Bereichere die Diskussion mal mit Dingen, die nicht schon tausendmal durchgekaut wurden. --Rtc 01:33, 13. Sep 2005 (CEST)

@Rtc: Na Klasse: Da du nur wiederholen kannst, was Gunther gesagt hat, überarbeite ich im Laufe der Woche den Artikel auf dieser Grundlage. "Große Begeisterung und Beteiligung von dir" ist mir nicht so wichtig. Ich hoffe eher, dass sich Gunther u.a. mit meinen Formulierungen auseinandersetzt.

@ Gunther: Ich bin zzt. beruflich allerdings ziemlich angespannt; es kann ein bisschen dauern.

-- Peter Steinberg 01:55, 13. Sep 2005 (CEST)

Ok, ich sags nochmal deutlich: Stimmt der erste Punkt? Ja. Stimmt der zweite Punkt? Nicht in allen Logiken. Prädikatenkalkül erster Stufe ist entscheidbar (Vollständigkeitssatz), einwertige Logiken sogar trivialerweise, überhaupt völlig unabhängig von der Grundgesamtheit. Stimmt der dritte Punkt? Selbst wenn man die ersten beiden als gegeben voraussetzt, ist es keine logische Schlussfolgerung. Meinungen haben nichts mit mathematischen Gegebenheiten zu tun. Und nun das grundsätzliche Problem: Deine Darlegung enthält eine nicht zutreffende Annahme: 'worum es bei der Frage des "tertium non datur" eigentlich geht' – a) ist das tertium non datur keine Frage, sondern eine Aussage b) geht es darum primär bei dieser Aussage nicht. Du willst eine Kontroverse über den Satz sehen, die in dieser Form nicht existiert. Inbesondere charakterisiert sich das tertium non datur nicht über diese hypothetische Kontroverse, auch wenn Intuitionisten das gerne so sehen. --Rtc 02:57, 13. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Nochmal: Hilbert war klug!

"Stimmt der zweite Punkt? Nicht in allen Logiken." - "Meinungen haben nichts mit mathematischen Gegebenheiten zu tun..."

Hallo Rtc, mir scheint, ich kann nun genauer erkennen, wo wir uns nicht verständigen können: Wir müssten unterscheiden zwischen "allen Logiken" (die so oder so sein können, aber nicht blödsinnig. A∧¬A ist keine Logik, das sieht jeder) und den "mathematischen Gegenbenheiten". Das hat Hilbert perfekt getan! - Wenn du dieser Frage (oder Aussage) mal nachgehst, kommen wir vielleicht besser zusammen. -- Peter Steinberg 00:55, 15. Sep 2005 (CEST)

Und Du willst jetzt eigentlich was genau im Bezug auf diesen Artikel? --Rtc 01:26, 15. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Absatz Intuitionismus eingefügt

Bitte breit diskutieren, und nicht *nur* Rtc PaCo 22:43, 11. Sep 2005 (CEST)

Mit solchen Änderungen verfällt das ganze nur auf das Niveau vergangener Zeiten, die längst ausdiskutiert sind. Im übrigen hast Du anders als angegeben was völlig anderes gemacht als etwas an die englische Wikipedia angepasst -- dort wird nur erwähnt, dass der Satz in der intuitionistischen Logik nicht gültig ist, was hier bereits durch den Hinweis auf Wahrheitswert abgedeckt ist. Ich bitte, die etablierte Version wiederherzustellen und nicht alle paar Monate erneut zu versuchen, den Artikel mit einer unverhältnismäßigen Darstellung des Intuitionismus anzureichern, insbesondere wenn sie Logik wie eine Weltanschauung erscheinen lässt, bei der es ein für oder ein wider gäbe, anstatt das ganze einfach als das zu beschreiben was es ist: eine Abgrenzung mehrerer Logiken, wo der satz mal gilt und mal nicht. --Rtc 00:45, 12. Sep 2005 (CEST)

Wir haben das ganze ja sehr ausführlich auf icq miteinander diskutiert. Die intuitionistische Kritik, ja, man *darf* in diesem Zusammenhang von Kritik sprechen, am Satz ist einschlägig. Einschlägige Kritik nicht äußern zu dürfen ist nicht neutral. Es ist sinnvoll, wenn andere als wir, Gunther, Peter St., Fuzzy, wer auch immer diskutieren, ob die Nennung der Kritik hier stehen bleiben darf. Goggle einfach mal mit "Brouwer Kritik Dritten" und Du siehst, dass nicht nur ich es bin, der die Kritik einschlägig findet. Das Kriterium der Nennung der Kritik *hier* ist, dass es *zum Wesentlichen des logischen Intuitionismus* gehört, dass der Satz v.a.Dr. kritisiert wird. Nicht jede Kritik an etwas soll beim Kritisierten Artikel hineingenommen werden. Aber diese fast 100 Jahre alte (seit 1908 mit großem Erfolg in Deutschland in den 1920er Jahren) einschlägige Kritik sollte (ich würde sogar sagen: muss) hier erwähnt werden.PaCo 07:31, 12. Sep 2005 (CEST)

Habe nochmal ein paar Typo-Fehler entfernt und den Absatz präzisiert. Hoffe er ist so jetzt OK.PaCo 10:36, 12. Sep 2005 (CEST)

Ein paar grundsätzliche Anmerkungen: Man kann das Verständnis von Sätzen oder Definitionen immer auf zwei Arten angehen: Entweder mit der Frage "was folgt daraus?" oder der Frage "was, wenn nicht?" Wenn es wie hier um die Grundlagen geht, ist die erste Frage nur sehr schwer zu erfassen, weil aus der Aussage selbst nur sehr wenig folgt ("welches der ZFC-Axiome ist für den Beweis des großen fermatschen Satzes besonders wichtig?" ist keine sinnvolle Frage). Dazu kommt in diesem konkreten Fall, dass vermutlich jeder, den man auf der Straße fragt, die Aussage Joe ist blond, oder Joe ist nicht blond als offensichtlich wahr ansehen wird; das Gefühl dafür, wann der Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwendet wird, ist dementsprechend schwach ausgeprägt. Deshalb sollte sich der Artikel mMn eigentlich hauptsächlich damit befassen, inwiefern der Satz nicht "offensichtlich" ist oder unter welchen Umständen er sogar falsch sein könnte. Wirkliche "Kritik" gehört allerdings in den Philosophie-Abschnitt, denn sie bezieht sich ja auf die Wahrheit des Satzes und nicht auf seine Ableitbarkeit in irgendwelchen formalen Betrachtungen.

Konkret fehlen mir folgende Punkte:

• Eine Erklärung bzw. ein Verweis auf die "Axiome der Logik", die so ziemlich mysteriös bleiben.
• Eine Erklärung, worin sich der S.v.a.D. vom Prinzip der Zweiwertigkeit und vom Satz vom Widerspruch unterscheidet. Insbesondere die Ausformulierung des P.d.Z. in der Form, dass P entweder wahr oder falsch ist, ist im Beispiel nicht vom S.v.a.D. zu unterscheiden.
• Eine Abgrenzung zwischen "wahr" im philosophischen Sinne und "wahr" in einer booleschen Algebra o.ä.
• Wer einen Satz ablehnt, der aus irgendwelchen Axiomen folgt, muss auch eines der Axiome oder irgendwelche Schlussregeln ablehnen. Diese sollten genannt werden. In Wahrheitswert steht, dass durch ersetzt wird. Ist das der einzige Unterschied?

--Gunther 16:44, 12. Sep 2005 (CEST)

Zum letzten Punkt: Je nach Axiomatisierung. Es gibt Axiomatisierungen, da ist die Doppelnegationsbeseitigung (analog auch tertium non datur direkt, ist in gängigen Fällen äquivalent) explizit drin und unabhängig von den restlichen Axiomen, in diesem Fall reicht obige Maßnahme völlig aus.

Jedoch wird in der Praxis meist auf die elegante Axiomatisierung von Jan Łukasiewicz zurückgegriffen, weil die außer der Modus-Ponens-Regel [1] nur drei Axiome [2] [3] und [4] hat. Tertium non datur folgt hier nur mit allen drei Axiomen und der Definitionen für zusammen [5] – insofern kann man nicht mehr von einer Ablehnung eines bestimmten Axioms reden; es sind wohl Änderungen an allen drei Axiomen oder alternativ an der Definition notwendig, um daraus eine intuitionistische Logik zu erhalten.

--Rtc 00:09, 13. Sep 2005 (CEST)

Der erste Punkt über die Axiome ist ja oben nun abgedeckt. Zum zweiten Punkt: Das Prinzip der Zweiwertigkeit besagt, dass jeder Aussage, der ein Wahrheitswert zugeordnet wird, dieser entweder 'wahr' oder 'falsch' ist. Das spielt ausschließlich für die Semantik von logischen Formeln eine Rolle und hat keinerlei Bedeutung im Hinblick auf eine rein syntaktische formalistische Axiomatisierung! Wenn ich z.B. sage 'es regnet', dann besagt das Prinzip der Zweiwertigkeit, dass dieser Aussage semantisch einer der Wahrheitswerte 'wahr' oder 'falsch' zugeordnet wird, und nicht z.B. eine Menge von Zeitpunkten, an der diese Aussage richtig ist.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt nun in diesem Zusammenhang, dass 'es regnet oder es regnet nicht' gültig ist, bei der zweiwertigen Semantik also, dass dies eine wahre Aussage ist (und keine falsche); bei der mit zeitpunkten, dass diese aussage zu *jedem* Zeitpunkt stimmt; der Aussage im Bezug auf die Semantik also die Menge *aller* Zeitpunkte zugeordnet wird.

Im Bezug auf eine boolesche Algebra also:

• Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
• Satz vom Widerspruch:
• Prinzip der Zweiwertigkeit: | A | = 2

Der Satz vom Widerspruch sieht auf den ersten Blick aus als könnte er durch einige Umformungen in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umgeformt werden. Der Denkfehler zeigt sich bei genauer Betrachtung schnell – dazu würde die Doppelnegationsbeseitigungsregel benötigt:

--Rtc 02:01, 13. Sep 2005 (CEST)

Der Punkt ist in etwa der folgende: Im alltäglichen Sprachverständnis gibt es keinen Unterschied zwischen einer Aussage "x" und der Aussage "x ist wahr", genausowenig zwischen "nicht x" und "x ist falsch". Da hilft auch das Regenbeispiel nicht wirklich weiter, weil mit "x" auch "x ist wahr" zeitlich unbestimmt ist, man kann sich also gewissermaßen aussuchen, wann man die Zweiwertigkeit verlässt. Es geht aber genau darum, den Unterschied zwischen "x oder nicht x" und "x ist wahr oder x ist falsch" zu erklären, in Formeln den Unterschied zwischen und ; an den Formeln sieht man auch, dass zwei völlig verschiedene Bedeutungen von "oder" verwendet werden.--Gunther 02:25, 13. Sep 2005 (CEST)

Könnte man fast auch so darstellen. -- das Problem ist, dass Dein noch den degenerierten Fall 1 = 0 zulässt (BTW, sorry für Postedits oben.) --Rtc 02:36, 13. Sep 2005 (CEST)

Das ist das geringste Problem. Dass wahr nicht dasselbe wie falsch ist, muss man dem Leser eher nicht erklären, und in der Formel kann man ja irgendsoein exotisches Symbol wie für "entweder-oder" verwenden.--Gunther 02:47, 13. Sep 2005 (CEST)

Naja, wichtig ist es schon, weil darum gehts ja beim Prinzip der Zweiwertigkeit: dass es eben genau zwei sind, nicht mehr, und, was für diesen Fall wichtig ist, auch nicht weniger. Ich würde für entweder-oder verwenden, Punkte übersieht man leicht. --Rtc 03:02, 13. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht sind 1 und 0 überhaupt die falschen Symbole (hab das jetzt einfach aus dem Artikel für boolesche Algebren so übernommen), weil das sonst für einen unnötigen Bezug zu Zahlen bringt, was den Leser bestimmt unnötig verwirrt und diesbezüglich ja schon implizierte. Stattdessen lieber 'unverdorbene' Symbole wie und nehmen. --Rtc 03:07, 13. Sep 2005 (CEST)

Für den Laien ist klar, dass vernünftige Logiken nicht einwertig sind, und für die Unterscheidung zwischen S.v.a.D. und P.d.Z. kann man einwertige Logiken auch vergessen. Zu 0/1 oder anderen Symbolen: Ich hielte es für wichtiger, den Unterschied der beiden "oder" auch in Sprache zu fassen, Formeln können bei der Erklärung helfen, sollten sie aber nicht ersetzen, zumal das Symbol ja zweimal dasselbe ist. ( würde ich jedenfalls nicht als Symbol für "oder" erwarten.)--Gunther 01:37, 15. Sep 2005 (CEST)

Formale Korrektheit sollte schon gegeben sein, man sollte die Einwertigen nicht unter den Tisch fallen lassen, auch wenn Laien das voraussetzen. ist ein recht gängiges Symbol für entweder-oder, weil diese logische Verknüpfung in zweiwertigen booleschen Algebren grade die Addition mod 2 darstellt. Klar sollte man auch verständlich erklären, was der Unterschied ist, nicht nur mit einer Symboltirade. --Rtc 02:08, 15. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Interpretationen

...sollte sich der Artikel mMn eigentlich hauptsächlich damit befassen, inwiefern der Satz nicht "offensichtlich" ist oder unter welchen Umständen er sogar falsch sein könnte. (Gunther)

Dem kann ich nur zustimmen. Deshalb habe ich einen Abschnitt aus einer Fassung vom 19. Juli wieder eingefügt und im Sinne von Gunthers Hinweis auf unterschiedliche Interpretationen überarbeitet. Ich finde, dass sich nun wieder erkennen lässt, worum es eigentlich geht.

Die Einleitung und der Abschnitt nach dem eingefügten Teil haben m.E. noch Schwächen (z.B. ist es zumindest sehr schief ausgedrückt, wenn man sagt, jener Satz über Joe lasse sich "mit den Axiomen der Logik ableiten" - er ist schlicht und einfach logisch wahr. Eh ich mich an solche Feinheiten mache, will ich aber abwarten, ob nicht alles wieder revertet wird. -- Peter Steinberg 21:24, 23. Sep 2005 (CEST)

Der Absatz

„G" kann nicht in der Weise bewiesen werden, dass für jede gerade Zahl g zwei Primzahlen p₁ und p₂ aufgeschrieben werden, deren Summe g ergibt. Denn es gibt ja unendlich viele gerade Zahlen. Nötig ist vielmehr ein Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p₁ und p₂ zu berechnen. Ein solches Verfahren ist bis heute aber nicht bekannt.

überzeugt mich nicht: Ein Beweis ist unabhängig von einem derartigen Verfahren. Wenn G wahr ist, dann funktioniert das Verfahren "Probiere alle Paare von Primzahlen kleiner als g durch".--Gunther 00:40, 24. Sep 2005 (CEST)

Wenn G wahr ist, kann ich zu einer beliebig vorgegebenen Zahl g in endlich vielen Schritten p₁ und p₂ finden. Ich kann mir diese Suche dann aber auch sparen, denn ich weiß ja schon, wie sie ausgeht. Es geht doch aber darum, herauszufinden ob G wahr ist. Und das kann man aber nicht für alle Zahlen durchprobieren, auch wenn die Probe für jede einzelne Zahl endlich ist. Bis 4*10¹⁴ hat man's ja schon probriert (wenn diese Angabe stimmt). Es bleiben aber noch verteufelt viele Zahlen übrig. -- Peter Steinberg 21:45, 24. Sep 2005 (CEST)

Die Verknüpfung von Algorithmus und Beweis ist halt irgendwie schief. Es kann nur dann einen Algorithmus geben, wenn G wahr ist, aber dann ist es auch trivial, einen anzugeben. Was hat das jetzt mit einem Beweis von G zu tun?--Gunther 22:00, 24. Sep 2005 (CEST)

Klar: Es kann nur dann einen Algorithmus geben, wenn G wahr ist. Aber wir wissen halt nicht, ob das zutrifft. Ein Beweis dafür wäre es, wenn wir einen solchen Algorithmus angeben könnten. (Das ist die Verknüpfung von Algorithmus und Beweis). Oder wie sonst soll ein Beweis aussehen? -- Peter Steinberg 23:22, 26. Sep 2005 (CEST)

Parallelbeispiel: G = "es gibt unendlich viele Primzahlen", Algorithmus = "probiere alle natürlichen Zahlen der Reihe nach durch", Beweis = "".--Gunther 23:26, 26. Sep 2005 (CEST)

"Probiere alle natürlichen Zahlen der Reihe nach durch" ist kein Algorithmus, sondern die Aufforderung, etwas Unmögliches zu tun, und beweist natürlich gar nichts. Im Übrigen sind die beiden Sätze schwer zu vergleichen: Die Goldbachsche Vermutung behauptet, dass eine gewisse Eigenschaft für jede Zahl gilt, "dein" Satz behauptet die Existenz von unendlich vielen Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft.

Trotzdem: Ein Algorithmus ist ein Programm. Wirft man oben eine Zahl g rein, kommen unten zwei Zahlen p₁ und p₂ raus. "Den Beweis der Goldbachschen Vermutung führen" heißt: Den Algorithmus beschreiben und völlig zweifelsfrei darlegen, dass, welche gerade Zahl g auch immer "reingeworfen" wird, die produzierten Zahlen p₁ und p₂ immer Primzahlen sind und ihre Summe g ist. Bisher ist das leider nicht gelungen, aber wenn es irgendwann geht, geht es nur mit argumentieren, nicht mit probieren.

Zu "deinem" Satz: Die Beweisskizze mit dem Pi versteh ich nicht. Aber der Beweis, den ich kenne (und du sicher auch) ist ebenfalls ein Algorithmus: Man wirft oben eine lückenlose Folge von Primzahlen rein, und unten kommt eine Zahl raus, von der man einsehen kann: sie ist (a) eine Primzahl und (b) größer als alle "reingeworfenen" Zahlen. Und jeder, der sich genügend damit befasst hat, kann einsehen: Das geht nicht nur bis 4*10¹⁴, sondern tatsächlich immer. -- Peter Steinberg 00:33, 28. Sep 2005 (CEST)

Ok, ich korrigiere mich ein klein wenig: G = "zu jeder Zahl n gibt es eine größere Primzahl", Algorithmus = "probiere alle Zahlen größer als n der Reihe nach durch". Der Beweis sollte nur irgendein nichtkonstruktiver Beweis sein (im klassischen Sinne, also nicht konstruktiv = KM), konkret ist das die Aussage, dass das Produkt

über alle Primzahlen gegen unendlich divergiert.--Gunther 00:48, 28. Sep 2005 (CEST)

Auch ich muss mich ein wenig korrigieren: Wenn ich von "Algorithmus" rede, denke ich immer nur an einen terminierten Algorithmus. Im Artikel ist ja auch nicht von "Algorithmus" die Rede, sondern von "ein(em) Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p1 und p2 zu berechnen." Das bedeutet, dass nach endlich vielen Schritten ein Ergebnis vorliegt. Dein Algorithmus "probiere alle Zahlen größer als n der Reihe nach durch" erfüllt diese Bedingung offenbar nicht.

Dagegen gibt es, wie oben angedeutet, einen so schönen, sogar für einen Teil meiner Sechstklässler einsichtigen (und obendrein terminierten) Algorithmus, der immer noch eine höhere Primzahl liefert!! - "Dein" Beweis, von dem du meinst, er sei nichtkonstruktiv, ist mir nicht vertraut. Ich habe zzt. nicht die Kapazität, dem weiter nachzugehen. Ich seh auch nicht so recht, was das zu unserem Lemma beiträgt.

Bitte sagt doch mal, ob es von deiner Seite noch schwerwiegende Bedenken gegen eine Formulierung in dem Artikel gibt. Andernfalls würde ich mich an die verbliebenden kleineren Probleme machen. (Den "blonden Joe" möchte ich z.B. durch eine "eingeschaltete Lampe" ersetzen, weil "blond oder nicht blond" bei meinen Schülerinnen zu endlosen Debatten führt und das "tertium non datur" in dieser Frage weitgehend nicht anerkannt ist...)

Im Übrigen hoffe ich, wenn ich mal die Luft dazu habe, auch endlich bei "Mengenlehre" weitermachen zu können... -- Peter Steinberg 00:36, 29. Sep 2005 (CEST)

Ja, ich habe noch das Problem, dass Du so tust, als bestünde jeder Beweis in der Angabe eines Algorithmus. Der oben genannte nichtkonstruktive Beweis beruht auf der Rechnung

liefert also keine konkreten Primzahlen, sondern nur indirekt die Aussage, dass es unendlich viele sein müssen.

Ähnlich dazu könnte es einen Beweis der goldbachschen Vermutung geben, der nichts mit einem Algorithmus zu tun hat.--Gunther 00:53, 29. Sep 2005 (CEST)

Man braucht nicht die Äquivalenz von Beweis und Algorithmus. Es reicht aus, mathematische Beweise zu haben, die kein zusätzliches *logisches* Prinzip benutzen. Da fallen zwar die Algorithmen drunter, aber es gibt keine Beschränkung auf Algorithmen. PaCo 12:38, 29. Sep 2005 (CEST)

@Gunther: Schönen Dank für deine Erklärung zu dem Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Die letzte Umformung versteh ich leider nicht. Mir scheint das aber auch nicht so wichtig, weil es ja um einen Beweis für die G'sche Vermutung geht und nicht um einen für die Unendlichkeit der... Dein Einwand läuft offenbar darauf hinaus, dass es doch auch einen "nicht konstruktiven" Beweis dafür geben könnte. Wenn dieser das tertium non datur benutzt, gerätst du in einen Zirkel: Du kannst die Zulässigkeit des tnd nicht mit dem tnd begründen. Vielleicht benutzt "dein" Beweis aber statt dessen den Schluss ¬¬A→A; soweit ich mich erinnere, ist der nicht gleichwertig mit dem tnd. Wenn ich dies nachgeschlagen habe, schreibe ich mal einen Artikel über den Satz vom doppelten Widerspruch. Falls mir nicht vorher der Spass vergeht...

Für die Goldbachsche Vermutung allerdings gibt es zzt. überhaupt keinen schlüssigen Beweis, und das ist doch das einzige, was hier zählt (da hat PaCo durchaus Recht).

Ehrlich gesagt, werde ich auch allmählich ein bisschen ungeduldig: Meine Formulierung des Artikels ist absolut lehrbuchmäßig (fast bedenklich nahe an Schütte), bestens belegt (die Einfügung von Hajo Keffer bestätigt das noch mal), und für Kenner der Materie altes Stroh... Warum also muss ich hier ewig und noch einmal argumentieren? - Können wir die Diskussion jetzt beenden, damit ich im Artikelraum weitermachen kann? -- Peter Steinberg 23:31, 3. Okt 2005 (CEST)

Deine Einstellung ist bedenklich. --Rtc 14:59, 4. Okt 2005 (CEST)

Ich habe den Satz, der mich stört, mal rausgeworfen. Der ist einfach in dieser Form falsch. Solange man sich nicht für die KM entschieden hat (und das ist an dieser Stelle des Textes definitiv nicht der Fall), ist ein Algorithmus nicht "nötig" für einen Beweis.--Gunther 23:58, 3. Okt 2005 (CEST)

Wenn ich mal einen Tip geben darf: Bitte kein Beispiel wie die Goldbachsche Vermutung nehmen, das nur von Intuitionisten akzeptiert wird. Stattdessen einfach ein Beispiel für einen Satz P wählen, wo klar ersichtlich ist, dass er auch in der klassischen Mathematik keinen Wahrheitswert hat, aber bei tertium non datur trotzdem gilt. Beispielweise P = Kontinuumshypothese. Dann hören diese ständigen sinnlosen Diskussionen auf. --Rtc 14:58, 4. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Nachfrage

"Wer den Satz (oder das Prinzip) vom ausgeschlossenen Dritten ablehnt oder kritisiert, behauptet nicht notwendig, dass es etwas Drittes gibt, sondern er lehnt logische Schlüsse ab, bei denen man aus der Logik und nicht aus den Tatsachen über den jeweiligen wissenschaftlichen Gegenstand etwas für wahr oder existent hält. Eine solche Kritik wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts sehr polemisch geäußert." - Verstehe ich nicht. Wer hat solche Kritik vorgebracht? Warum ist das eine Kritik an LEM? Ca$e 17:27, 14. Jul 2006 (CEST)

Brouwer, wer sonst? --Rtc 20:12, 14. Jul 2006 (CEST)

Hi Ca$e, hi Rtc. Luitzen Egbertus Jan Brouwer kritisierte (übrigens begann das genau vor 100 Jahren) das axiomatische Vorgehen in der Mathematik. Relevant wird die Kritik besonders beim Streit um das so genannte Kontinuum der reellen Zahlen. Sind diese (analytisch-axiomatisch betrachtet in überabzählbarer Menge vorhanden oder nicht. Die konstruktive Mathematik geht nicht von einem Kontinuum aus. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird dabei eigentlich nur kritisch bei Verwendung von Quantoren. Brouwer kritisierte also Aussagen der Form:

Wenn für kein x gilt: nicht A(x), dann gilt für alle x: A(x)

Aber was ist LEM? Hat mit Lem nichts zu tun, oder?--PaCo 21:06, 14. Jul 2006 (CEST)

Law of the Excluded Middle --Rtc 21:08, 14. Jul 2006 (CEST)

Thx :)--PaCo 21:10, 14. Jul 2006 (CEST)