Satz von Heine
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Der Satz von Heine (nach Eduard Heine) aus der reellen Analysis besagt über stetige Funktionen:
Ist eine Funktion f im kompakten Intervall [a,b] stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.
D.h. zu einem beliebigen 
existiert ein δ > 0 derart, dass für zwei beliebige Stellen x1 und x2 aus dem Intervall [a,b] mit | x2 − x1 | < δ gilt:
[Bearbeiten] Beweis
Indirekter Beweis. Angenommen f sei nicht gleichmäßig stetig. Dann existiert ein , so dass für jedes 
Punkte ![x_n, x_n^{'} \in [a,b]](../../../math/0/4/e/04e3786e38a9d50f6ca340d10f6752b8.png)
existieren, so dass
und
erfüllt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge (xn) eine konvergente Teilfolge 
, deren Grenzwert 
im Intervall [a,b] enthalten ist. Der Grenzwert ξ der Folge (xn) ist wegen
ebenfalls Grenzwert der Folge . Aus der Stetigkeit von f folgt für die Funktionswerte
ein Widerspruch zur gemachten Annahme 
für alle k. Damit muss f gleichmäßig stetig sein.
