Vikipedio:Projekto matematiko/Karakteriza polinomo
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Karakteriza polinomo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En lineara algebro, unu (asociitoj, asociitas, asocianoj, asocianas, kompanianoj, kompanianas) polinomo al ĉiu kvadrata matrico, ĝia karakteriza polinomo aŭ _secular_ ekvacio. Ĉi tiu polinomo kodas kelkaj gravaj propraĵoj de la matrico, plej rimarkinde ĝia (ajgenoj, ajgenas), ĝia determinanto kaj ĝia spuro.
Enhavo |
[redaktu] Motivado
Donita kvadrata matrico A, ni bezono al trovi polinomo kies (radikoj, radikas) estas precize la (ajgenoj, ajgenas) de A. Por diagonala matrico A, la karakteriza polinomo estas facila al difini: se la diagonalaj elementoj estas a, b, c la karakteriza polinomo estos esti
- (t − a)(t − b)(t − c)...
supren al konvencio pri signo (+ aŭ −). Ĉi tiu (laboroj, laboras) ĉar la diagonalaj elementoj estas ankaŭ la (ajgenoj, ajgenas) de ĉi tiu matrico.
Por ĝenerala matrico A, unu povas procedi kiel sekvas. Se λ estas ajgeno de A, tiam estas ajgenvektoro v≠0 tia (tiu, ke, kiu)
- A v = λv,
aŭ
- (λMi − A)v = 0
(kie Mi estas la identa matrico). Ekde v estas ne-nulo, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la matrico λMi − A estas singularo, kiu laŭvice (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĝia determinanto estas 0. Ni havi (justa, ĵus) montrita (tiu, ke, kiu) la (radikoj, radikas) de la funkcio _det_(t Mi − A) estas la (ajgenoj, ajgenas) de A. Ekde ĉi tiu funkcio estas polinomo en t, ni'rao farita.
[redaktu] Formala difino
Ni starti kun kampo K (vi povas (opinii, pensi) de K kiel la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj) kaj n×n matrico A super K. La karakteriza polinomo de A, signifis per pA(t), estas la polinomo difinis per
- pA(t) = _det_(t Mi − A)
kie Mi signifas la n-per-n identa matrico. Ĉi tiu estas ja polinomo, ekde (determinantoj, determinantas) estas difinita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (sumoj, sumas) de (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas). (Iu (aŭtoroj, aŭtoras) difini la karakteriza polinomo al esti _det_(A − t Mi); la diferenco estas indiferenta ekde la du (polinomoj, polinomas) diferenci maksimume per signo.)
[redaktu] Ekzemplo
Supozi ni bezono al komputi la karakteriza polinomo de la matrico
Ni devi komputi la determinanto de
kaj ĉi tiu determinanto estas
La lasta estas la karakteriza polinomo de A.
[redaktu] Propraĵoj
La polinomo pA(t) estas _monic_ (ĝia kondukante koeficiento estas 1) kaj ĝia grado estas n. La plej grava fakto pri la karakteriza polinomo estis jam menciis en la motiviga (alineo, paragrafo): la (ajgenoj, ajgenas) de A estas precize la (radikoj, radikas) de pA(t). La konstanta koeficiento pA(0) estas egala al (−1)n (tempoj, tempas) la determinanto de A, kaj la koeficiento de t n − 1 estas egala al la negativa de _tr_(A), la matrica spuro de A. Por 2×2 matrico A, la karakteriza polinomo estas bonguste esprimita tiam kiel
- t 2 − _tr_(A)t + _det_(A).
Ĉiuj (reala, reela) (polinomoj, polinomas) de nepara grado havi reela nombro kiel radiko, (do, tiel) por nepara n, ĉiu (reala, reela) matrico havas almenaŭ unu (reala, reela) ajgeno. Multaj (reala, reela) (polinomoj, polinomas) de (eĉ, ebena, para) grado ne havi (reala, reela) radiko, sed la fundamenta teoremo de algebraj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) ĉiu polinomo de grado n havas n komplekso (radikoj, radikas), grafita kun ilia (oblecoj, oblecas). La ne-(reala, reela) (radikoj, radikas) de (reala, reela) (polinomoj, polinomas), de ĉi tie la ne-(reala, reela) (ajgenoj, ajgenas), veni en konjugita (paroj, paras).
La _Cayley_-Hamiltonaj teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) anstataŭiganta t per A en la esprimo por pA(t) rendimento la nula matrico: pA(A) = 0. Simple, ĉiu matrico (verigas, kontentigas) ĝia posedi karakteriza ekvacio. Sekve de tio de ĉi tiu, unu povas montri (tiu, ke, kiu) la minimuma polinomo de A (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) la karakteriza polinomo de A.
Du similaj matricoj havi la sama karakteriza polinomo. La konversacii tamen estas ne vera en ĝenerala: du matricoj kun la sama karakteriza polinomo (bezoni, bezono, necesa) ne esti simila.
La matrico A kaj ĝia transponi havi la sama karakteriza polinomo. A estas simila al triangula matrico se kaj nur se ĝia karakteriza polinomo povas esti plene faktorita enen lineara (faktoroj, faktoras) super K. Fakte, A estas (eĉ, ebena, para) simila al matrico en Jordana normala formo en ĉi tiu (kesto, okazo).
